Подбор пропущенного слагаемого по заданному значению выражения: диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · Алгебра · 1298. Углублённый практикум по поиску одного пропущенного одночлена из числового условия. Здесь равенство требуется только при указанном значении x, а не обязательно при всех x — это важное отличие от заданий на тождества.

Метод и контроль на примере

Пусть F(x)=2x² − 3x + 4 + kx. Известно F(2)=18. Подстановка даёт 8 − 6 + 4 + 2k = 18; значит, 2k=12 и k=6. Проверка: F(2)=8−6+4+12=18. Нельзя делить на x, пока не проверили, что заданное значение x не равно нулю.

Если неизвестный член имеет вид kx², при x=0 он равен нулю при любом k. Тогда требование может быть либо выполнимым для всех коэффициентов k, либо невыполнимым ни для одного. Сравнение с эталонным числом показывает, какой случай перед вами.

Уровень 1: найди коэффициент из одного условия

Не раскрывайте квадрат двучлена — здесь его нет. Сначала подставьте число и вычислите известную часть, затем составьте линейное уравнение для k.

1. При x = -4 выражение −5x² + x + 8 + kx имеет значение -40. Найдите k; выполните обратную проверку.
2. При x = -3 выражение 2x + 1 + kx² имеет значение 58. Найдите k; выполните обратную проверку.
3. При x = -2 выражение 2x² − 6x + 4 + k имеет значение 19. Найдите k; выполните обратную проверку.
4. При x = -1 выражение −7x − 9 + kx имеет значение -14. Найдите k; выполните обратную проверку.
5. При x = 1 выражение −4x² + x + 8 + kx² имеет значение 9. Найдите k; выполните обратную проверку.
6. При x = 2 выражение −2x² − 4x + 6 + k имеет значение -18. Найдите k; выполните обратную проверку.
7. При x = 3 выражение −3x² + 2x − 9 + kx имеет значение -12. Найдите k; выполните обратную проверку.
8. При x = 4 выражение x² + 7x − 8 + kx имеет значение 80. Найдите k; выполните обратную проверку.

Уровень 2: отрицательные значения и квадрат переменной

Отрицательная подстановка меняет знак kx, но не kx². После вычисления свободного остатка обязательно проверьте делитель.

9. При x = 5 выражение −3x² − 5x − 3 + kx² имеет значение -178. Найдите k; выполните обратную проверку.
10. При x = -4 выражение 2x² + x − 9 + k имеет значение 24. Найдите k; выполните обратную проверку.
11. При x = -3 выражение x² − 4x − 7 + kx имеет значение 35. Найдите k; выполните обратную проверку.
12. При x = -2 выражение −3x² + 4x + 4 + kx² имеет значение 20. Найдите k; выполните обратную проверку.
13. При x = -1 выражение 5x² + 7 + k имеет значение 8. Найдите k; выполните обратную проверку.
14. При x = 1 выражение 3x² − 5x + 2 + kx имеет значение 8. Найдите k; выполните обратную проверку.
15. При x = 2 выражение −5x² − 6x + 9 + kx имеет значение -35. Найдите k; выполните обратную проверку.
16. При x = 3 выражение −2x² + 5x + 7 + kx² имеет значение 94. Найдите k; выполните обратную проверку.

Уровень 3: контроль условий и крайние случаи

Последние три задания специально проверяют случай x=0. В них не всегда существует единственный ответ; внимательно прочитайте формулировку вопроса.

17. При x = 4 выражение 5x² − 4x + 3 + k имеет значение 70. Найдите k; выполните обратную проверку.
18. При x = 5 выражение 2x² + 6x + 2 + kx имеет значение 32. Найдите k; выполните обратную проверку.
19. При x = -4 выражение −x + 3 + kx² имеет значение 39. Найдите k; выполните обратную проверку.
20. При x = -3 выражение −5x² + 2x − 4 + k имеет значение -42. Найдите k; выполните обратную проверку.
21. При x = -2 выражение −3x² − 5x + 7 + kx имеет значение 27. Найдите k; выполните обратную проверку.
22. Особый случай: при x = 0 значение 3x² + 2x + 5 + kx должно равняться 5. Определите, сколько коэффициентов k подходит.
23. Особый случай: при x = 0 значение 5x² − 7x + 2 + kx² должно равняться 6. Определите, сколько коэффициентов k подходит.
24. Особый случай: при x = 0 значение −2x² + 4x − 1 + kx должно равняться -1. Определите, сколько коэффициентов k подходит.

Проверенные решения ко всем 24 заданиям

1. k = -9. Известная часть при x=-4 равна -76; поэтому -4k = -40 − (-76) = 36. После деления k=-9; проверка: -76 + -4·(-9) = -40.
2. k = 7. Известная часть при x=-3 равна -5; поэтому 9k = 58 − (-5) = 63. После деления k=7; проверка: -5 + 9·(7) = 58.
3. k = -5. Известная часть при x=-2 равна 24; поэтому 1k = 19 − (24) = -5. После деления k=-5; проверка: 24 + 1·(-5) = 19.
4. k = 12. Известная часть при x=-1 равна -2; поэтому -1k = -14 − (-2) = -12. После деления k=12; проверка: -2 + -1·(12) = -14.
5. k = 4. Известная часть при x=1 равна 5; поэтому 1k = 9 − (5) = 4. После деления k=4; проверка: 5 + 1·(4) = 9.
6. k = -8. Известная часть при x=2 равна -10; поэтому 1k = -18 − (-10) = -8. После деления k=-8; проверка: -10 + 1·(-8) = -18.
7. k = 6. Известная часть при x=3 равна -30; поэтому 3k = -12 − (-30) = 18. После деления k=6; проверка: -30 + 3·(6) = -12.
8. k = 11. Известная часть при x=4 равна 36; поэтому 4k = 80 − (36) = 44. После деления k=11; проверка: 36 + 4·(11) = 80.
9. k = -3. Известная часть при x=5 равна -103; поэтому 25k = -178 − (-103) = -75. После деления k=-3; проверка: -103 + 25·(-3) = -178.
10. k = 5. Известная часть при x=-4 равна 19; поэтому 1k = 24 − (19) = 5. После деления k=5; проверка: 19 + 1·(5) = 24.
11. k = -7. Известная часть при x=-3 равна 14; поэтому -3k = 35 − (14) = 21. После деления k=-7; проверка: 14 + -3·(-7) = 35.
12. k = 9. Известная часть при x=-2 равна -16; поэтому 4k = 20 − (-16) = 36. После деления k=9; проверка: -16 + 4·(9) = 20.
13. k = -4. Известная часть при x=-1 равна 12; поэтому 1k = 8 − (12) = -4. После деления k=-4; проверка: 12 + 1·(-4) = 8.
14. k = 8. Известная часть при x=1 равна 0; поэтому 1k = 8 − (0) = 8. После деления k=8; проверка: 0 + 1·(8) = 8.
15. k = -6. Известная часть при x=2 равна -23; поэтому 2k = -35 − (-23) = -12. После деления k=-6; проверка: -23 + 2·(-6) = -35.
16. k = 10. Известная часть при x=3 равна 4; поэтому 9k = 94 − (4) = 90. После деления k=10; проверка: 4 + 9·(10) = 94.
17. k = 3. Известная часть при x=4 равна 67; поэтому 1k = 70 − (67) = 3. После деления k=3; проверка: 67 + 1·(3) = 70.
18. k = -10. Известная часть при x=5 равна 82; поэтому 5k = 32 − (82) = -50. После деления k=-10; проверка: 82 + 5·(-10) = 32.
19. k = 2. Известная часть при x=-4 равна 7; поэтому 16k = 39 − (7) = 32. После деления k=2; проверка: 7 + 16·(2) = 39.
20. k = 13. Известная часть при x=-3 равна -55; поэтому 1k = -42 − (-55) = 13. После деления k=13; проверка: -55 + 1·(13) = -42.
21. k = -11. Известная часть при x=-2 равна 5; поэтому -2k = 27 − (5) = 22. После деления k=-11; проверка: 5 + -2·(-11) = 27.
22. Любое k. При x=0 одночлен kx равен 0 независимо от k; известная часть даёт 5, а требование — 5. Оно выполнено для любого k.
23. Решений нет. При x=0 одночлен kx² равен 0 независимо от k; известная часть даёт 2, а требование — 6. Оно противоречит известной части.
24. Любое k. При x=0 одночлен kx равен 0 независимо от k; известная часть даёт -1, а требование — -1. Оно выполнено для любого k.

Диагностика типичной ошибки. Ученик получил 2k=−14 и записал k=14. Необходимо сохранить знак при делении: k=−7. Другая распространённая ошибка — заменить (−3)² на −9; верно (−3)²=9. При числовой проверке подставляйте найденный k в исходное выражение, а не в уже преобразованное условие.

Оценка работы: 1 балл за корректную подстановку, 1 балл за найденный коэффициент и 1 балл за проверку; в особых случаях достаточно обоснованно указать «любое k» или «нет решений».

Три полных примера решения до проверки

Пример 1: неизвестное слагаемое не содержит x

Для G(x)=3x²−2x+7+k известно G(−2)=28. Сначала вычислим известную часть: 3·4−2·(−2)+7=12+4+7=23. Значит 23+k=28 и k=5. Теперь вернём коэффициент в исходную формулу: G(−2)=12+4+7+5=28. Свободное слагаемое k не умножается на значение переменной — это принципиально.

Пример 2: отрицательное значение и коэффициент при квадрате

Пусть H(x)=−x²+4x+6+kx², а H(−3)=12. Известная часть равна −9−12+6=−15. Квадрат (−3)²=9, поэтому получаем −15+9k=12. Следовательно 9k=27 и k=3. При обратной проверке −9−12+6+3·9=12; знак минус перед отдельным x² сохранился.

Пример 3: коэффициент невозможно определить

Пусть J(x)=4x²−x+8+kx. Требуется J(0)=8. Подстановка даёт 8=8 при любом k, поскольку k·0=0. Однозначного ответа нет: условие вообще не ограничивает k. Но если вместо 8 потребовать J(0)=9, появится противоречие 8=9, и решений уже не будет. Эти два случая нельзя выдавать за одно и то же.

Диагностика ошибок при вычислении

Первая группа ошибок связана со знаком подставляемого отрицательного числа. Например, выражение −2x при x=−4 равно +8, а не −8. Вторая группа — со степенью: (−4)²=16, тогда как −4² по стандартному порядку действий равно −16. Важно сохранить скобки в записи подстановки, чтобы эти операции не перепутались.

Третья группа ошибок связана с понятием тождества. Из условия F(3)=14 не следует, что F(x)=14 при любом x. Мы подбираем коэффициент так, чтобы верным стало одно числовое требование; найденный одночлен необязательно делает два многочлена тождественно равными. Поэтому недостаточно просто сравнить коэффициенты при x в общем виде.

Четвёртая группа ошибок возникает при делении на выражение, равное нулю. Если после подстановки получаем 0·k=0, делить нельзя: равенство верно для бесконечно многих значений k. Если 0·k=5, ни один коэффициент не поможет. Подобные задачи полезны тем, что показывают границу механического алгоритма «перенести и разделить».

Пятая группа связана с обратной проверкой: ученик проверяет только вычисленное уравнение, а не исходный многочлен. Чтобы обнаружить эту ошибку, вернитесь к написанному до преобразований выражению и повторите подстановку полностью. При большой длине вычисления удобно отдельно обозначить значение известной части буквой C, а значение x в неизвестном одночлене — числом d; тогда C+d·k должно совпасть с заданным значением.

Как организовать три уровня

В первых восьми заданиях сосредоточьтесь на понятном арифметическом переходе от подстановки к уравнению. Во второй группе попросите записать под каждым отрицательным значением x его квадрат, прежде чем вычислять многочлен. В третьей — отдельно классифицируйте случаи: «ровно одно решение», «любое k», «решений нет». Такая классификация не заменяет вычислений, но позволяет контролировать их смысл.

Для проверки себя ученику полезно сначала оценить знак произведения kx и kx². Если x отрицателен, знак первого произведения зависит от двух знаков, тогда как знак второго определяется самим k. При x положительном оба произведения сохраняют знак k. Это простой способ обнаружить ошибку до выполнения всех сложений.