Нахождение ошибки при исключении неизвестного для параллельных прямых — тематические карточки для 7 класса

7 класс · Системы уравнений · MATH-1343. Рабочий лист: почему при исключении неизвестного иногда получается противоречие, а не найденное число. Цель — проверять каждый шаг преобразования системы, когда прямые параллельны и не совпадают.

Памятка: прежде чем делить, проверьте, что получилось

Если первое равенство умножено на число k, его левая часть может совпасть с левой частью второго уравнения. Тогда при вычитании неизвестные исчезают. Для разных параллельных прямых получится неверное числовое равенство, например 0 = 5. Это доказательство отсутствия решений, а не разрешение поделить на нуль.

Образец: 2x + 3y = 7 и 4x + 6y = 19. Удвоим первое: 4x + 6y = 14. Вычитаем: 0 = 5. Запись «x = 5» ошибочна: коэффициент при x после вычитания тоже равен нулю. У системы нет общих пар (x, y).

На каждом листе дан неверный вывод ученика. Найдите место первой ошибки, перепишите шаг исключения правильно и докажите число решений. Указание «нет решений» недостаточно без противоречивого числового равенства.

Вариант А — сначала сравните коэффициенты

Обведите в каждой паре одинаковые части, приведя первое уравнение к коэффициентам второго. В этих заданиях ошибка возникает уже в момент вычитания или обращения с нулевым коэффициентом.

1. Система: 6x − 4y = -5; 24x − 16y = -16. Ученик после исключения x нашли y=0. Найдите ошибку и определите множество решений.
2. Система: 3x − 4y = -11; -6x + 8y = 28. Ученик из равенства 0=0 заключили, что решений бесконечно много. Найдите ошибку и определите множество решений.
3. Система: 3x − 4y = 6; -6x + 8y = -8. Ученик после вычитания получили x=4. Найдите ошибку и определите множество решений.
4. Система: 2x + 3y = -8; -4x − 6y = 24. Ученик разделили разность свободных членов на 0 и получили ответ. Найдите ошибку и определите множество решений.
5. Система: x − 2y = 9; -2x + 4y = -15. Ученик поделили второе уравнение на первое и нашли пару. Найдите ошибку и определите множество решений.
6. Система: 5x + 2y = 11; 10x + 4y = 30. Ученик решили, что любой x подходит, так как x исчез. Найдите ошибку и определите множество решений.
7. Система: 5x − 4y = 4; 10x − 8y = 4. Ученик после исключения x нашли y=0. Найдите ошибку и определите множество решений.
8. Система: x + 4y = 13; 2x + 8y = 19. Ученик из равенства 0=0 заключили, что решений бесконечно много. Найдите ошибку и определите множество решений.
9. Система: 2x + 5y = -12; -4x − 10y = 17. Ученик после вычитания получили x=-7. Найдите ошибку и определите множество решений.

Вариант Б — опровергните неверный вывод

Запишите, какое числовое противоречие осталось. Для одной выбранной системы дополнительно выразите y через x в каждом уравнении и сравните свободные члены этих двух прямых.

10. Система: 4x − 3y = -4; 16x − 12y = -12. Ученик разделили разность свободных членов на 0 и получили ответ. Найдите ошибку и определите множество решений.
11. Система: 3x + 5y = 13; 6x + 10y = 19. Ученик поделили второе уравнение на первое и нашли пару. Найдите ошибку и определите множество решений.
12. Система: x − 3y = 14; 2x − 6y = 19. Ученик решили, что любой x подходит, так как x исчез. Найдите ошибку и определите множество решений.
13. Система: 3x − 3y = 13; 9x − 9y = 30. Ученик после исключения x нашли y=0. Найдите ошибку и определите множество решений.
14. Система: 5x − 2y = -14; 20x − 8y = -65. Ученик из равенства 0=0 заключили, что решений бесконечно много. Найдите ошибку и определите множество решений.
15. Система: 4x − 2y = 14; 8x − 4y = 19. Ученик после вычитания получили x=-9. Найдите ошибку и определите множество решений.
16. Система: 4x + 4y = 0; -12x − 12y = 3. Ученик разделили разность свободных членов на 0 и получили ответ. Найдите ошибку и определите множество решений.
17. Система: 6x + 4y = -11; 24x + 16y = -49. Ученик поделили второе уравнение на первое и нашли пару. Найдите ошибку и определите множество решений.
18. Система: 4x − 4y = -9; -12x + 12y = 20. Ученик решили, что любой x подходит, так как x исчез. Найдите ошибку и определите множество решений.

Подробный ключ для учителя

Ответы к варианту А

1. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 4: 24x − 16y = -20. Вычитаем его из второго: 0 = 4. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
2. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -2: -6x + 8y = 22. Вычитаем его из второго: 0 = 6. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
3. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -2: -6x + 8y = -12. Вычитаем его из второго: 0 = 4. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
4. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -2: -4x − 6y = 16. Вычитаем его из второго: 0 = 8. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
5. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -2: -2x + 4y = -18. Вычитаем его из второго: 0 = 3. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
6. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 2: 10x + 4y = 22. Вычитаем его из второго: 0 = 8. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
7. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 2: 10x − 8y = 8. Вычитаем его из второго: 0 = -4. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
8. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 2: 2x + 8y = 26. Вычитаем его из второго: 0 = -7. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
9. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -2: -4x − 10y = 24. Вычитаем его из второго: 0 = -7. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.

Ответы к варианту Б

10. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 4: 16x − 12y = -16. Вычитаем его из второго: 0 = 4. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
11. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 2: 6x + 10y = 26. Вычитаем его из второго: 0 = -7. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
12. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 2: 2x − 6y = 28. Вычитаем его из второго: 0 = -9. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
13. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 3: 9x − 9y = 39. Вычитаем его из второго: 0 = -9. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
14. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 4: 20x − 8y = -56. Вычитаем его из второго: 0 = -9. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
15. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 2: 8x − 4y = 28. Вычитаем его из второго: 0 = -9. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
16. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -3: -12x − 12y = 0. Вычитаем его из второго: 0 = 3. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
17. Решений нет. Умножаем первое уравнение на 4: 24x + 16y = -44. Вычитаем его из второго: 0 = -5. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.
18. Решений нет. Умножаем первое уравнение на -3: -12x + 12y = 27. Вычитаем его из второго: 0 = -7. Это ложное равенство; переменные исключились обе, делить на их нулевой коэффициент нельзя.

Как оценивать и исправлять ошибки

За каждое задание можно поставить два балла: один за правильно выбранный множитель для уравнения, ещё один за вывод «решений нет» с явным противоречием. Если ученик пишет 0x=5 и затем x=5, попросите сравнить это с числовым уравнением 0·3=5: оно неверно, подставить подходящее x невозможно.

Обратите внимание: противоречие 0 = 5 и тождество 0 = 0 означают противоположные ситуации. Первое доказывает пустое множество решений. Второе само по себе требует проверки исходных уравнений: совпадают ли они целиком. Здесь коэффициенты двух левых частей пропорциональны, но свободные части после умножения различаются, поэтому линии параллельны и не совпадают.

Для дополнительной проверки возьмите точку, лежащую на первой прямой, например положите x=0 и найдите y. Подстановка той же пары во второе уравнение не даст верного равенства из-за постоянного расхождения свободных частей. Такой контроль полезен, но основное доказательство уже получено методом исключения.