Нахождение ошибки при исключении неизвестного при совпадающих уравнениях — проверочная работа по математике, 7 класс

7 класс · Системы уравнений · MATH-1344. Исследование типичной ошибки: при вычитании совпадающих уравнений получается верное равенство 0 = 0. Это не означает, что x или y обязательно равен нулю.

Наблюдение: почему исчезли оба неизвестных

Рассмотрите систему 3x − 2y = 8 и 9x − 6y = 24. Второе уравнение — утроенное первое. Если вычесть утроенное первое, получится 0 = 0. Ученик заявил, что единственная пара — (0; 0). Но она вообще не удовлетворяет исходному равенству: 3·0 − 2·0 ≠ 8. При этом пары (2; −1) и (4; 2) подходят обе: 6+2=8 и 12−4=8.

Таким образом, каждое подходящее значение одного неизвестного даёт значение второго. На координатной плоскости два равенства задают одну и ту же прямую; действительных решений бесконечно много. Исчезновение неизвестных здесь означает зависимость уравнений, а не необходимость приравнять неизвестные к нулю.

Сформулируйте правило и попробуйте его опровергнуть

Подозрительное правило: «если коэффициенты при x одинаковы после умножения, то у системы бесконечно много решений». Контрпример: x + 2y = 5 и 3x + 6y = 16. Слева множитель 3, а справа должно быть 15. Вычитание даёт 0 = 1; решений нет. Следовательно, проверять нужно ещё и свободную часть.

Карточка исследователя — семь наблюдений

В каждом пункте назовите множитель, на который умножено первое уравнение. Объясните словами, почему из верного числового равенства нельзя получить единственную пару.

1. -2x − 2y = -6; -6x − 6y = -18. Ошибочный вывод: из 0=0 получили x=0. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
2. -3x − 4y = 17; 6x + 8y = -34. Ошибочный вывод: из 0=0 сделали вывод «единственная пара (0; 0)». Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
3. 3x − 6y = 14; 9x − 18y = 42. Ошибочный вывод: посчитали, что нет решений: неизвестное исчезло. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
4. 5x − 2y = 13; -10x + 4y = -26. Ошибочный вывод: вывели y=0 после вычитания. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
5. -3x − 6y = -5; 6x + 12y = 10. Ошибочный вывод: приняли 0=0 за деление 0 на 0 и прекратили работу. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
6. -5x + 3y = 16; -15x + 9y = 48. Ошибочный вывод: из 0=0 получили x=0. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
7. 2x − 3y = -12; 8x − 12y = -48. Ошибочный вывод: из 0=0 сделали вывод «единственная пара (0; 0)». Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.

Изменяем знак множителя

Во второй части могут встречаться отрицательные множители. Перед выводом о числе решений сравнивайте именно все три коэффициента в записи ax + by = c, включая свободную часть.

8. -4x + 5y = 8; 8x − 10y = -16. Ошибочный вывод: посчитали, что нет решений: неизвестное исчезло. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
9. -3x + 3y = 1; 9x − 9y = -3. Ошибочный вывод: вывели y=0 после вычитания. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
10. 5x − 4y = -1; 10x − 8y = -2. Ошибочный вывод: приняли 0=0 за деление 0 на 0 и прекратили работу. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
11. 3x − 2y = 2; 12x − 8y = 8. Ошибочный вывод: из 0=0 получили x=0. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
12. -4x + 2y = -6; -16x + 8y = -24. Ошибочный вывод: из 0=0 сделали вывод «единственная пара (0; 0)». Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
13. -5x + 3y = -16; -15x + 9y = -48. Ошибочный вывод: посчитали, что нет решений: неизвестное исчезло. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.
14. 4x + 5y = 15; 12x + 15y = 45. Ошибочный вывод: вывели y=0 после вычитания. Найдите ошибку, укажите число решений и приведите одну подходящую пару.

Ключ с доказательствами

1. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 3. После исключения 0 = 0; например, (0; 3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (-6 − (-2)x)/(-2), где x — любое действительное число.
2. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на -2. После исключения 0 = 0; например, (0; -17/4) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (17 − (-3)x)/(-4), где x — любое действительное число.
3. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 3. После исключения 0 = 0; например, (0; -7/3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (14 − (3)x)/(-6), где x — любое действительное число.
4. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на -2. После исключения 0 = 0; например, (0; -13/2) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (13 − (5)x)/(-2), где x — любое действительное число.
5. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на -2. После исключения 0 = 0; например, (0; 5/6) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (-5 − (-3)x)/(-6), где x — любое действительное число.
6. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 3. После исключения 0 = 0; например, (0; 16/3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (16 − (-5)x)/(3), где x — любое действительное число.
7. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 4. После исключения 0 = 0; например, (0; 4) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (-12 − (2)x)/(-3), где x — любое действительное число.
8. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на -2. После исключения 0 = 0; например, (0; 8/5) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (8 − (-4)x)/(5), где x — любое действительное число.
9. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на -3. После исключения 0 = 0; например, (0; 1/3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (1 − (-3)x)/(3), где x — любое действительное число.
10. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 2. После исключения 0 = 0; например, (0; 1/4) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (-1 − (5)x)/(-4), где x — любое действительное число.
11. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 4. После исключения 0 = 0; например, (0; -1) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (2 − (3)x)/(-2), где x — любое действительное число.
12. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 4. После исключения 0 = 0; например, (0; -3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (-6 − (-4)x)/(2), где x — любое действительное число.
13. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 3. После исключения 0 = 0; например, (0; -16/3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (-16 − (-5)x)/(3), где x — любое действительное число.
14. Бесконечно много решений. Второе равенство равно первому, умноженному на 3. После исключения 0 = 0; например, (0; 3) удовлетворяет обеим строкам. В общем виде y = (15 − (4)x)/(5), где x — любое действительное число.

Три особых случая, которые полезно обсудить

Первый: если x+y=0 и 2x+2y=0, нулевая пара действительно подходит, но не является единственной: подходят (1; −1) и (−3; 3). Второй: если x=5 и 2x=10, свободным может быть y — потому решений бесконечно много. Третий: если в уравнении нет обоих неизвестных и остаётся 0=0, оно само по себе вообще не ограничивает пару; в карточках такой случай не используется, поскольку каждое исходное уравнение задаёт прямую.

Чтобы ученики не путали методы, предложите выписать две разные пары из любой карточки. Затем подставьте обе пары в исходные строки. Этот небольшой эксперимент показывает, что вывод «любое x» относится не к совершенно произвольной паре, а к паре, где y вычислено из уравнения.

Учебный критерий: засчитывайте не только слово «бесконечно», но и доказательство пропорциональности полных равенств. Одной проверки точки недостаточно: та же точка может лежать на двух пересекающихся прямых, у которых только одно общее решение.

Почему дробная пара не мешает получить бесконечно много решений

В ответах к проверочной работе иногда встречается пара, где y — обыкновенная дробь. Это допустимо: если специально не оговорены натуральные или целые числа, ищутся все действительные решения. Например, для 2x+3y=1 при x=0 получаем y=1/3. Но можно взять x=2 и найти y=−1. Обе пары верны; ни одна из них не является единственной.

Иногда ученик видит, что у системы есть пара (0; 0), и решает, что найден ответ. Но совпадение двух прямых означает не одну общую точку, а каждую их точку. Проверка одной конкретной пары подтверждает лишь существование решения. Чтобы доказать бесконечность, нужно выразить одну переменную через другую и показать, что свободная переменная может принимать любые действительные значения.

Если коэффициент при y отрицателен, выражение y=(c−ax)/b остаётся корректным. Например, 4x−2y=6 приводит к −2y=6−4x, затем y=2x−3. При x=0 получаем y=−3, при x=1 имеем y=−1. Этот шаг помогает отличать ошибки знака при делении от ошибок определения числа решений.