Нахождение ошибки при исключении неизвестного по условиям на сумму и разность — тренажёр для 7 класса

7 класс · Системы уравнений · MATH-1346. Трёхуровневый тренажёр исключения неизвестного по условиям на сумму и разность. У каждой системы покажите ошибочный шаг и исправьте его, прежде чем записывать ответ.

Метод, который можно проверить обратно

Пусть x+y=S и x−y=D. При сложении исчезает y: 2x=S+D. При вычитании второго уравнения из первого исчезает x: 2y=S−D. Поэтому x=(S+D)/2, y=(S−D)/2. Ошибка «после сложения 2y=S+D» приводит к перестановке результатов. Проверять нужно обе исходные строки.

Если же во второй строке стоит y−x=D, то при сложении исчезает x и выходит 2y=S+D. Это не исключение из правила, а другой порядок неизвестных. Поэтому в заданиях необходимо читать знаки и порядок букв, а не применять формулу на память.

Уровень I — целые неотрицательные числа

Выявляйте неверно подписанное неизвестное. Если после сложения строк x исчез, ответ относится к y; если исчез y, результат относится к x.

1. x + y = 7; x − y = -3. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2y». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
2. x + y = 11; y − x = 5. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2x». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
3. 2x + 2y = 30; x − y = -7. Ученик: «сложили строки, не приведя коэффициенты к противоположным». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
4. 3x + 3y = 36; y − x = 2. Ученик: «разделили только правую часть первого уравнения». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
5. x + y = 16; x − y = -4. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2y». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
6. x + y = 13; y − x = -1. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2x». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
7. 2x + 2y = 34; x − y = -1. Ученик: «сложили строки, не приведя коэффициенты к противоположным». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
8. 3x + 3y = 42; y − x = -4. Ученик: «разделили только правую часть первого уравнения». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.

Уровень II — отрицательные величины

Здесь знаком «−» может обладать само число, а не действие вычитания. Например, разность −3 и −7 равна 4. Перед исключением проверьте, в какой строке стоят x−y и y−x.

9. x + y = 1; x − y = 1. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2y». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
10. x + y = -2; y − x = -6. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2x». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
11. 2x + 2y = 8; x − y = 2. Ученик: «сложили строки, не приведя коэффициенты к противоположным». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
12. 3x + 3y = 3; y − x = -7. Ученик: «разделили только правую часть первого уравнения». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
13. x + y = 7; x − y = 3. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2y». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
14. x + y = 4; y − x = -8. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2x». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
15. 2x + 2y = 20; x − y = 4. Ученик: «сложили строки, не приведя коэффициенты к противоположным». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
16. 3x + 3y = 21; y − x = -9. Ученик: «разделили только правую часть первого уравнения». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.

Уровень III — дробные решения и несколько шагов

Дополнительный множитель у первого уравнения нельзя убрать только справа: деление распространяется на обе его части. Если решение получилось дробным, сохраните точную обыкновенную дробь, не округляйте.

17. x + y = -1; x − y = -10. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2y». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
18. x + y = 3; y − x = 12. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2x». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
19. 2x + 2y = 14; x − y = -14. Ученик: «сложили строки, не приведя коэффициенты к противоположным». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
20. 3x + 3y = 9; y − x = 8. Ученик: «разделили только правую часть первого уравнения». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
21. x + y = 7; x − y = -10. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2y». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
22. x + y = 11; y − x = 12. Ученик: «после сложения ошибочно записали 2x». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
23. 2x + 2y = 14; x − y = -6. Ученик: «сложили строки, не приведя коэффициенты к противоположным». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.
24. 3x + 3y = 33; y − x = 8. Ученик: «разделили только правую часть первого уравнения». Исправьте этот шаг, найдите x и y, выполните проверку.

Полный ключ и способы исправления

Ответы уровня I

1. x=2, y=5. Надёжный путь: сложить строки и разделить сумму правых частей на 2. Сумма найденных чисел 2+(5)=7, разность x−y=-3; обе исходные строки верны.
2. x=3, y=8. Надёжный путь: сложить строки: исключается x. Сумма найденных чисел 3+(8)=11, разность x−y=-5; обе исходные строки верны.
3. x=4, y=11. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 2, затем сложить. Сумма найденных чисел 4+(11)=15, разность x−y=-7; обе исходные строки верны.
4. x=5, y=7. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 3, затем сложить. Сумма найденных чисел 5+(7)=12, разность x−y=-2; обе исходные строки верны.
5. x=6, y=10. Надёжный путь: сложить строки и разделить сумму правых частей на 2. Сумма найденных чисел 6+(10)=16, разность x−y=-4; обе исходные строки верны.
6. x=7, y=6. Надёжный путь: сложить строки: исключается x. Сумма найденных чисел 7+(6)=13, разность x−y=1; обе исходные строки верны.
7. x=8, y=9. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 2, затем сложить. Сумма найденных чисел 8+(9)=17, разность x−y=-1; обе исходные строки верны.
8. x=9, y=5. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 3, затем сложить. Сумма найденных чисел 9+(5)=14, разность x−y=4; обе исходные строки верны.

Ответы уровня II

9. x=1, y=0. Надёжный путь: сложить строки и разделить сумму правых частей на 2. Сумма найденных чисел 1+(0)=1, разность x−y=1; обе исходные строки верны.
10. x=2, y=-4. Надёжный путь: сложить строки: исключается x. Сумма найденных чисел 2+(-4)=-2, разность x−y=6; обе исходные строки верны.
11. x=3, y=1. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 2, затем сложить. Сумма найденных чисел 3+(1)=4, разность x−y=2; обе исходные строки верны.
12. x=4, y=-3. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 3, затем сложить. Сумма найденных чисел 4+(-3)=1, разность x−y=7; обе исходные строки верны.
13. x=5, y=2. Надёжный путь: сложить строки и разделить сумму правых частей на 2. Сумма найденных чисел 5+(2)=7, разность x−y=3; обе исходные строки верны.
14. x=6, y=-2. Надёжный путь: сложить строки: исключается x. Сумма найденных чисел 6+(-2)=4, разность x−y=8; обе исходные строки верны.
15. x=7, y=3. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 2, затем сложить. Сумма найденных чисел 7+(3)=10, разность x−y=4; обе исходные строки верны.
16. x=8, y=-1. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 3, затем сложить. Сумма найденных чисел 8+(-1)=7, разность x−y=9; обе исходные строки верны.

Ответы уровня III

17. x=-11/2, y=9/2. Надёжный путь: сложить строки и разделить сумму правых частей на 2. Сумма найденных чисел -11/2+(9/2)=-1, разность x−y=-10; обе исходные строки верны.
18. x=-9/2, y=15/2. Надёжный путь: сложить строки: исключается x. Сумма найденных чисел -9/2+(15/2)=3, разность x−y=-12; обе исходные строки верны.
19. x=-7/2, y=21/2. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 2, затем сложить. Сумма найденных чисел -7/2+(21/2)=7, разность x−y=-14; обе исходные строки верны.
20. x=-5/2, y=11/2. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 3, затем сложить. Сумма найденных чисел -5/2+(11/2)=3, разность x−y=-8; обе исходные строки верны.
21. x=-3/2, y=17/2. Надёжный путь: сложить строки и разделить сумму правых частей на 2. Сумма найденных чисел -3/2+(17/2)=7, разность x−y=-10; обе исходные строки верны.
22. x=-1/2, y=23/2. Надёжный путь: сложить строки: исключается x. Сумма найденных чисел -1/2+(23/2)=11, разность x−y=-12; обе исходные строки верны.
23. x=1/2, y=13/2. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 2, затем сложить. Сумма найденных чисел 1/2+(13/2)=7, разность x−y=-6; обе исходные строки верны.
24. x=3/2, y=19/2. Надёжный путь: сначала разделить первую строку на 3, затем сложить. Сумма найденных чисел 3/2+(19/2)=11, разность x−y=-8; обе исходные строки верны.

Как избежать повторения ошибки

Перед сложением уравнений подчеркните два члена, которые исчезнут. Например, в системе x+y=9 и y−x=1 противоположны +x и −x, значит после сложения остаётся 2y=10. Ошибка в подписи x вместо y приводит к ответу, который может случайно удовлетворять сумме, но не обязательно разности. Поэтому контроль обеих строк обязателен.

Если в системе 2x+2y=18 и x−y=3 сложить строки непосредственно, получится 3x+y=21, а не равенство с единственным неизвестным. Это корректная, но бесполезная для исключения строка. Для эффективного шага надо сначала разделить первое уравнение на 2 или умножить второе на 2 и вычитать или складывать с учётом нужного знака.

Если получились x=3/2 и y=−5/2, не пытайтесь «починить» ответ до целых значений. Системы линейных уравнений могут иметь дробные и отрицательные решения; в учебном тренажёре это нормально. Только в прикладной задаче о количестве предметов необходимо отдельно обсуждать смысл знака и дробной части.

Критерии: за каждое задание один балл за верное исключение, один — за вычисление пары и ещё один — за контроль обеих строк. Особое внимание уделите случаям с отрицательными правыми частями, где ошибка в знаке часто скрыта за правильно запомненной формулой.

Два подробных контрольных случая

Система x+y=−3 и y−x=5 специально устроена так, чтобы нельзя было угадать правильный знак по величине чисел. Складываем обе строки: 2y=2, значит y=1. Затем x=−3−1=−4. Подстановка: −4+1=−3 и 1−(−4)=5. Если ошибочно написать 2x=2, получится неверная перестановка и нарушение второго условия.

В другом примере 3x+3y=15 и x−y=1 не стоит сразу складывать строки: неизвестные не исключатся. Разделим первое равенство на 3: x+y=5. Теперь прибавим x−y=1 и получим 2x=6, x=3. Следовательно y=2. Обратная проверка в начальной, не сокращённой записи даёт 3·3+3·2=15, а 3−2=1.

При самостоятельной проверке удобно вести две колонки. В первой кратко записывать действие над целым уравнением: «строка 1 : 3» или «строка 1 + строка 2». Во второй — результат с буквами. Такой способ сразу обнаруживает переход, в котором ученик применил операцию к одной части равенства, забыв про другую.