Определение числа решений системы для параллельных прямых — математический практикум для 7 класса

7 класс · Системы уравнений · MATH-1347. Прикладной практикум: можно ли подобрать число поездок так, чтобы две разные параллельные тарифные прямые дали одинаковую стоимость? Здесь мы определяем число решений, а не исправляем чужие преобразования.

Ситуация: две транспортные карты

Школьники сравнили два проездных тарифа. Тариф «Север» требует разовый сбор 120 тг и ещё 45 тг за каждую поездку. Тариф «Восток» требует сбор 190 тг и те же 45 тг за поездку. Пусть x — число поездок (целое, x≥0), а y — общая стоимость в тенге. Формулы: y=45x+120 и y=45x+190.

По таблице видно, что стоимость «Востока» всегда больше ровно на 70 тг. Одинаковая цена одной поездки означает одинаковые угловые коэффициенты прямых. Различие начальных сборов означает разные свободные члены: прямые параллельны, но не совпадают. Следовательно, система двух формул не имеет решений даже над всеми действительными x.

Вопросы по модели и таблице

Выполните первые восемь пунктов самостоятельно. Вопросы после восьмого меняют исходные условия: не применяйте к ним автоматически вывод о параллельности, пока не сравните новые коэффициенты.

1. Запишите оба уравнения стоимости в виде y−45x=c. Какие свободные части получатся?
2. Составьте систему для равной стоимости и исключите y. Какое числовое противоречие появится?
3. Сколько общих точек у двух графиков? Объясните это без построения большого чертежа.
4. Какая карта дешевле при x=0 и на сколько тенге?
5. Как изменится разница тарифов после 25 поездок? Докажите формулой, а не одной подстановкой.
6. Сколько заплатят по каждому тарифу за 12 поездок?
7. Почему умножение x на любое положительное число не уничтожит разницу между тарифами?
8. Если начальный сбор «Востока» снизят до 120 тг, сколько решений будет у новой системы?

Проверяем границы вывода

В заданиях 9–14 некоторые коэффициенты или сборы изменяются. Считайте, что количество поездок неотрицательно и целочисленно, а цена указана в тенге.

9. Если цена поездки «Востока» станет 50 тг, но сбор останется 190 тг, может ли равная стоимость наступить при x≥0?
10. Если первый тариф станет y=50x+120, а второй останется y=45x+190, найдите точку равных расходов.
11. В каком из исходных тарифов дополнительные 3 поездки стоят дороже?
12. Может ли быть ровно одно решение системы из двух прямых с одинаковым наклоном, но разными свободными членами?
13. Приведите другой пример двух тарифов с ценой поездки 32 тг и различающимися начальными платежами.
14. Объясните, почему нельзя делать вывод о равенстве тарифов по совпадению их прироста между x=2 и x=5.

Разбор ответов по шагам

1. «Север»: y−45x=120; «Восток»: y−45x=190. Коэффициенты у переменных одинаковы, правые части — разные.
2. Вычитая уравнения, получаем 0=70 (или 0=−70 при обратном порядке). Это противоречие; подходящей пары нет.
3. Ноль. Обе прямые имеют наклон 45, но разные точки пересечения с осью y: 120 и 190.
4. «Север» дешевле на 190−120=70 тг. При отсутствии поездок оплачивается только начальный сбор.
5. Разница останется 70 тг: (45x+190)−(45x+120)=70 для любого x, в том числе x=25.
6. «Север»: 660 тг; «Восток»: 730 тг. Разница по-прежнему 70 тг.
7. При одинаковом x коэффициенты при поездках равны, поэтому их вклады взаимно вычитаются, а разность сборов сохраняется.
8. Бесконечно много: обе формулы станут y=45x+120, то есть зададут одну и ту же прямую.
9. Нет при x≥0: (50x+190)−(45x+120)=5x+70>0. На всей действительной прямой равенство возможно при x=−14, но отрицательное количество поездок невозможно.
10. Решаем 50x+120=45x+190: 5x=70, x=14, y=50·14+120=820 тг. Здесь наклоны различны, поэтому общая точка ровно одна.
11. Одинаково: 3·45=135 тг. Равный прирост не означает равную полную стоимость.
12. Нет. Одинаковый наклон при разных свободных членах задаёт различные параллельные прямые; решений ноль.
13. Например, y=32x+40 и y=32x+95. Их разница всегда равна 55 тг; общих точек нет.
14. Прирост обеих стоимостей равен 3·45=135 тг, но начальный сбор второго тарифа на 70 тг больше. Равенство приростов не означает совпадение итоговых значений.

Проверка разумности графического решения

Если две прямые описывают одинаковую плату за каждую новую поездку, их графики идут в одном направлении и не сближаются. На бумаге это видно по постоянному вертикальному расстоянию между линиями. Чтобы сделать вывод строгим, вычислите разность: она равна одному и тому же ненулевому числу для всех x. Это алгебраическое доказательство отсутствия общей точки.

Не смешивайте два разных вида вывода. «Тарифы дорожают с одинаковой скоростью» не означает «тарифы стоят одинаково». Первый вывод следует из равенства коэффициентов при x. Второй потребовал бы ещё и равенства свободных членов. В исходной модели такого равенства нет, поэтому число решений системы равно нулю.

Иногда на практике ограничение x≥0 меняет ответ о числе допустимых решений. В девятом вопросе математические прямые имеют точку пересечения при отрицательном x, но для количества поездок она бессмысленна. Здесь нужно различать число решений линейной системы над действительными числами и число допустимых решений прикладной задачи.

Как определить число решений ещё до расчёта x

Для двух зависимостей вида y=ax+b и y=cx+d нужно сравнить коэффициенты наклона. Если a=c, а b≠d, прямые параллельны и не пересекаются: ноль решений. Если совпадают обе пары коэффициентов, графики одинаковые: бесконечно много решений. Если a≠c, существует ровно одна общая точка над действительными числами; при ограничениях прикладной задачи она может оказаться недопустимой.

В таблице расходы даны только для пяти значений x. Можно ли, не опираясь на формулы, сделать строгий вывод для любого количества поездок? Нет: несколько строк сами по себе не доказывают характер поведения на всех значениях. В нашей задаче у нас есть точные линейные модели; вычитая их, мы получаем постоянную разницу 70 тг. Именно формулы позволяют сделать вывод для всех возможных x, а таблица служит наглядной проверкой.

Проверим краевой случай при x=0: первая карта стоит 120 тг, вторая — 190 тг. Пусть число поездок увеличилось на 100. Обе карты подорожают ровно на 4500 тг, так что разница по-прежнему 70 тг. Это позволяет оценить результат ещё до вычисления полной суммы, однако для строгого доказательства важно раскрыть разность двух выражений.

Уточнение к изменённому тарифу в девятом вопросе: при разных наклонах прямые пересекаются в точке x=−14, но для количества поездок допустимы лишь целые x≥0. Поэтому математическая система над действительными числами имеет одно решение, а исходная транспортная задача — ни одного допустимого. Ясно формулируйте, о каком множестве значений идёт речь.