Проверка вероятностного прогноза при неравных частотах событий — задания с разбором, 7 класс

7 класс · Частоты и вероятности · MATH-1385. Углублённый практикум по проверке прогноза: сравните ожидаемое число наступлений события с наблюдаемым, когда исходы встречаются неодинаково часто. Учитесь различать вероятность в модели и относительную частоту в эксперименте.

Короткий метод: прогноз не обязан сбываться точно

Если модель приписывает событию вероятность p, то при n одинаковых испытаниях ожидаемая частота равна n·p. Это ориентир, а не обещание получить именно столько успехов. Наблюдаемая доля равна k/n. Чтобы проверить прогноз, сравнивайте одинаковые величины: либо k с n·p, либо k/n с p. Разница сама по себе не доказывает, что модель ложна.

Все три исхода в каждом опыте взаимоисключающие и вместе покрывают результаты. Эксперименты независимы в рамках учебной модели. Не превращайте «наблюдалось 18 раз» в «вероятность равна 18%», если объём опыта не равен 100.

Уровень I — ожидаемая частота и расхождение (задания 1–8)

1. Модель даёт P(А)=50%, P(Б)=30%, P(В)=20%. За 40 испытаний получено: А — 22, Б — 11, В — 7. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
2. Модель даёт P(А)=40%, P(Б)=35%, P(В)=25%. За 80 испытаний получено: А — 35, Б — 26, В — 19. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
3. Модель даёт P(А)=60%, P(Б)=25%, P(В)=15%. За 60 испытаний получено: А — 40, Б — 12, В — 8. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
4. Модель даёт P(А)=45%, P(Б)=35%, P(В)=20%. За 100 испытаний получено: А — 50, Б — 31, В — 19. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
5. Модель даёт P(А)=50%, P(Б)=30%, P(В)=20%. За 120 испытаний получено: А — 66, Б — 31, В — 23. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
6. Модель даёт P(А)=40%, P(Б)=35%, P(В)=25%. За 160 испытаний получено: А — 71, Б — 50, В — 39. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
7. Модель даёт P(А)=60%, P(Б)=25%, P(В)=15%. За 200 испытаний получено: А — 128, Б — 43, В — 29. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.
8. Модель даёт P(А)=45%, P(Б)=35%, P(В)=20%. За 240 испытаний получено: А — 117, Б — 76, В — 47. Найдите ожидаемое число А, фактическую долю А и отклонение в количестве исходов.

Уровень II — различающиеся частоты и честное сравнение (задания 9–16)

Для двухисходных опытов используйте также правило: относительные частоты успеха и неуспеха должны в сумме дать 1. Объяснение о «точности прогноза» без проверки общей суммы недостаточно.

9. Для события «успех» прогноз p=40%. После 50 испытаний успех зарегистрирован 23 раз, остальные 27 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
10. Для события «успех» прогноз p=40%. После 75 испытаний успех зарегистрирован 26 раз, остальные 49 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
11. Для события «успех» прогноз p=20%. После 100 испытаний успех зарегистрирован 26 раз, остальные 74 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
12. Для события «успех» прогноз p=80%. После 125 испытаний успех зарегистрирован 95 раз, остальные 30 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
13. Для события «успех» прогноз p=40%. После 150 испытаний успех зарегистрирован 67 раз, остальные 83 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
14. Для события «успех» прогноз p=40%. После 175 испытаний успех зарегистрирован 62 раз, остальные 113 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
15. Для события «успех» прогноз p=20%. После 200 испытаний успех зарегистрирован 50 раз, остальные 150 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.
16. Для события «успех» прогноз p=40%. После 250 испытаний успех зарегистрирован 91 раз, остальные 159 попыток закончились неуспехом. Сравните наблюдаемую долю и прогноз в процентных пунктах; объясните, можно ли объявить прогноз невозможным из-за расхождения.

Уровень III — последовательный анализ двух серий (задания 17–24)

Два класса проводили опыты отдельно. Частота после объединения серий — это не сумма их процентов и не всегда обычное среднее этих процентов. При разных объёмах серии имеют разный вес.

17. Для исхода А ожидали p=40%. Серия I: 15 из 30; серия II: 27 из 70. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
18. Для исхода А ожидали p=30%. Серия I: 10 из 40; серия II: 26 из 80. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
19. Для исхода А ожидали p=40%. Серия I: 24 из 50; серия II: 34 из 90. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
20. Для исхода А ожидали p=30%. Серия I: 15 из 60; серия II: 33 из 100. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
21. Для исхода А ожидали p=40%. Серия I: 33 из 70; серия II: 41 из 110. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
22. Для исхода А ожидали p=30%. Серия I: 20 из 80; серия II: 40 из 120. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
23. Для исхода А ожидали p=40%. Серия I: 42 из 90; серия II: 48 из 130. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?
24. Для исхода А ожидали p=30%. Серия I: 25 из 100; серия II: 47 из 140. Найдите общий объём, суммарную частоту А, относительную частоту по объединённым данным, прогнозируемое число А и расхождение. Почему нельзя сложить доли двух серий?

Ключ с расчётами

К уровню I

1. Прогноз А: 40·1/2=20 раз. Получено 22, отклонение +2. Относительная частота А=22/40=55%; теоретическая вероятность 50%. Сумма наблюдений: 40=40.
2. Прогноз А: 80·2/5=32 раз. Получено 35, отклонение +3. Относительная частота А=35/80=175/4%; теоретическая вероятность 40%. Сумма наблюдений: 80=80.
3. Прогноз А: 60·3/5=36 раз. Получено 40, отклонение +4. Относительная частота А=40/60=200/3%; теоретическая вероятность 60%. Сумма наблюдений: 60=60.
4. Прогноз А: 100·9/20=45 раз. Получено 50, отклонение +5. Относительная частота А=50/100=50%; теоретическая вероятность 45%. Сумма наблюдений: 100=100.
5. Прогноз А: 120·1/2=60 раз. Получено 66, отклонение +6. Относительная частота А=66/120=55%; теоретическая вероятность 50%. Сумма наблюдений: 120=120.
6. Прогноз А: 160·2/5=64 раз. Получено 71, отклонение +7. Относительная частота А=71/160=355/8%; теоретическая вероятность 40%. Сумма наблюдений: 160=160.
7. Прогноз А: 200·3/5=120 раз. Получено 128, отклонение +8. Относительная частота А=128/200=64%; теоретическая вероятность 60%. Сумма наблюдений: 200=200.
8. Прогноз А: 240·9/20=108 раз. Получено 117, отклонение +9. Относительная частота А=117/240=195/4%; теоретическая вероятность 45%. Сумма наблюдений: 240=240.

К уровню II

9. Частота=23/50=46%; прогноз 40%. Разница 6% (со знаком), по количеству исходов 23−20=3. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
10. Частота=26/75=104/3%; прогноз 40%. Разница -16/3% (со знаком), по количеству исходов 26−30=-4. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
11. Частота=26/100=26%; прогноз 20%. Разница 6% (со знаком), по количеству исходов 26−20=6. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
12. Частота=95/125=76%; прогноз 80%. Разница -4% (со знаком), по количеству исходов 95−100=-5. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
13. Частота=67/150=134/3%; прогноз 40%. Разница 14/3% (со знаком), по количеству исходов 67−60=7. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
14. Частота=62/175=248/7%; прогноз 40%. Разница -32/7% (со знаком), по количеству исходов 62−70=-8. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
15. Частота=50/200=25%; прогноз 20%. Разница 5% (со знаком), по количеству исходов 50−40=10. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.
16. Частота=91/250=182/5%; прогноз 40%. Разница -18/5% (со знаком), по количеству исходов 91−100=-9. Нет, одно расхождение не означает невозможность вероятностной модели: случайные результаты колеблются.

К уровню III

17. Всего 30+70=100; событий А 15+27=42. Общая частота 42/100=42%. Ожидали 40 наступлений, отклонение +2 от ожидаемого числа. Складывать доли 15/30 и 27/70 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
18. Всего 40+80=120; событий А 10+26=36. Общая частота 36/120=30%. Ожидали 36 наступлений, отклонение +0 от ожидаемого числа. Складывать доли 10/40 и 26/80 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
19. Всего 50+90=140; событий А 24+34=58. Общая частота 58/140=290/7%. Ожидали 56 наступлений, отклонение +2 от ожидаемого числа. Складывать доли 24/50 и 34/90 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
20. Всего 60+100=160; событий А 15+33=48. Общая частота 48/160=30%. Ожидали 48 наступлений, отклонение +0 от ожидаемого числа. Складывать доли 15/60 и 33/100 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
21. Всего 70+110=180; событий А 33+41=74. Общая частота 74/180=370/9%. Ожидали 72 наступлений, отклонение +2 от ожидаемого числа. Складывать доли 33/70 и 41/110 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
22. Всего 80+120=200; событий А 20+40=60. Общая частота 60/200=30%. Ожидали 60 наступлений, отклонение +0 от ожидаемого числа. Складывать доли 20/80 и 40/120 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
23. Всего 90+130=220; событий А 42+48=90. Общая частота 90/220=450/11%. Ожидали 88 наступлений, отклонение +2 от ожидаемого числа. Складывать доли 42/90 и 48/130 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.
24. Всего 100+140=240; событий А 25+47=72. Общая частота 72/240=30%. Ожидали 72 наступлений, отклонение +0 от ожидаемого числа. Складывать доли 25/100 и 47/140 нельзя: знаменатели относятся к разным объёмам, нужно делить общий счётчик на общий объём.

Сложная проверка: почему относительная частота — не вероятность

Предположим, что модель обещает вероятность 1/2, но в 10 испытаниях событие произошло 7 раз. Относительная частота 7/10 отличается от 1/2 на 2/10; это не опровержение модели. На коротком отрезке случайные колебания бывают заметными. При большом количестве опытов относительная частота обычно становится ближе к устойчивому значению, но точного равенства на каждой серии никто не гарантирует. Это объясняет, почему ответы в заданиях не следует оценивать по принципу «должны совпасть».

Если ошибочно сравнивать 40 событий из 80 опытов с 45 событиями из 100 опытов только по абсолютным числам, получится вывод, что вторая серия «успешнее». Правильные относительные частоты — 1/2 и 45/100; по доле успехов первая серия выше. Проверка прогноза всегда начинается с выяснения знаменателя. Сложные задания требуют не только вычитания, но и интерпретации результата.

Для самопроверки выбирайте одну задачу каждого уровня и повторяйте её двумя способами: сначала через число ожидаемых наступлений, затем через ожидаемую долю. Полученная разница в количествах должна быть равна разнице долей, умноженной на объём серии. Это надёжная обратная проверка вычислений.