Восстановление размера выборки по результатам нескольких испытаний — диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · Частоты и вероятности · MATH-1387. Два контрастных варианта для диагностики ошибок при восстановлении количества испытаний. В каждом случае дано достаточно сведений для однозначного ответа, а неверный приём ученика нужно заменить правильным. Не путайте число успехов, объём отдельной серии и объём объединённой выборки.

Вариант А — объём общей выборки по суммарной относительной частоте

В нескольких независимых сериях отмечали одно и то же событие А. Известно число его появлений в трёх сериях и объёмы первых двух. Общая относительная частота указана точно, не округлена. Восстановите суммарный размер всех серий, затем объём третьей и объясните, что неправильно в утверждении ученика «складывать объёмы уже не нужно».

1. Появления А по сериям: 6, 8, 16; объёмы первых двух серий 20 и 25. Общая относительная частота А — 1/3. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
2. Появления А по сериям: 9, 12, 19; объёмы первых двух серий 25 и 35. Общая относительная частота А — 2/5. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
3. Появления А по сериям: 8, 10, 12; объёмы первых двух серий 30 и 40. Общая относительная частота А — 1/4. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
4. Появления А по сериям: 16, 21, 23; объёмы первых двух серий 36 и 54. Общая относительная частота А — 2/5. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
5. Появления А по сериям: 15, 18, 27; объёмы первых двух серий 40 и 50. Общая относительная частота А — 3/8. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
6. Появления А по сериям: 14, 21, 25; объёмы первых двух серий 45 и 65. Общая относительная частота А — 1/3. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
7. Появления А по сериям: 18, 25, 37; объёмы первых двух серий 50 и 70. Общая относительная частота А — 2/5. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?
8. Появления А по сериям: 24, 32, 34; объёмы первых двух серий 64 и 80. Общая относительная частота А — 3/8. Чему равны общий размер выборки и число испытаний в серии III?

Вариант Б — отдельная серия и общий итог по частоте в ней

Здесь доля А дана только для третьей серии. Нельзя делить на неё сумму успехов сразу во всех сериях. Сначала определите объём серии III, затем общий размер совокупности и причину ошибочного решения.

9. В серии I проведено 18 испытаний, в серии II — 22, в серии III событие А наступило 12 раз при относительной частоте 2/5. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
10. В серии I проведено 24 испытаний, в серии II — 26, в серии III событие А наступило 12 раз при относительной частоте 1/3. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
11. В серии I проведено 27 испытаний, в серии II — 33, в серии III событие А наступило 10 раз при относительной частоте 1/4. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
12. В серии I проведено 32 испытаний, в серии II — 38, в серии III событие А наступило 30 раз при относительной частоте 2/3. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
13. В серии I проведено 35 испытаний, в серии II — 45, в серии III событие А наступило 15 раз при относительной частоте 3/10. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
14. В серии I проведено 48 испытаний, в серии II — 42, в серии III событие А наступило 24 раз при относительной частоте 2/5. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
15. В серии I проведено 54 испытаний, в серии II — 56, в серии III событие А наступило 30 раз при относительной частоте 5/12. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?
16. В серии I проведено 63 испытаний, в серии II — 57, в серии III событие А наступило 30 раз при относительной частоте 3/8. Сколько испытаний было в III серии и во всех трёх?

Ключ для взаимной проверки

Ответы варианта А

1. Всего успехов 6+8+16=30. Общий объём 30 : 1/3=90. В третьей серии 90−20−25=45 опытов. Проверка: 30/90=1/3; число успехов в третьей серии 16≤45.
2. Всего успехов 9+12+19=40. Общий объём 40 : 2/5=100. В третьей серии 100−25−35=40 опытов. Проверка: 40/100=2/5; число успехов в третьей серии 19≤40.
3. Всего успехов 8+10+12=30. Общий объём 30 : 1/4=120. В третьей серии 120−30−40=50 опытов. Проверка: 30/120=1/4; число успехов в третьей серии 12≤50.
4. Всего успехов 16+21+23=60. Общий объём 60 : 2/5=150. В третьей серии 150−36−54=60 опытов. Проверка: 60/150=2/5; число успехов в третьей серии 23≤60.
5. Всего успехов 15+18+27=60. Общий объём 60 : 3/8=160. В третьей серии 160−40−50=70 опытов. Проверка: 60/160=3/8; число успехов в третьей серии 27≤70.
6. Всего успехов 14+21+25=60. Общий объём 60 : 1/3=180. В третьей серии 180−45−65=70 опытов. Проверка: 60/180=1/3; число успехов в третьей серии 25≤70.
7. Всего успехов 18+25+37=80. Общий объём 80 : 2/5=200. В третьей серии 200−50−70=80 опытов. Проверка: 80/200=2/5; число успехов в третьей серии 37≤80.
8. Всего успехов 24+32+34=90. Общий объём 90 : 3/8=240. В третьей серии 240−64−80=96 опытов. Проверка: 90/240=3/8; число успехов в третьей серии 34≤96.

Ответы варианта Б

9. Объём III серии = 12 : 2/5 = 30. Общий размер 18+22+30=70. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
10. Объём III серии = 12 : 1/3 = 36. Общий размер 24+26+36=86. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
11. Объём III серии = 10 : 1/4 = 40. Общий размер 27+33+40=100. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
12. Объём III серии = 30 : 2/3 = 45. Общий размер 32+38+45=115. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
13. Объём III серии = 15 : 3/10 = 50. Общий размер 35+45+50=130. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
14. Объём III серии = 24 : 2/5 = 60. Общий размер 48+42+60=150. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
15. Объём III серии = 30 : 5/12 = 72. Общий размер 54+56+72=182. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.
16. Объём III серии = 30 : 3/8 = 80. Общий размер 63+57+80=200. Нельзя использовать частоту серии III для успехов из других серий, потому что это другая совокупность наблюдений.

Три наиболее опасные ошибки

Ошибка №1. Ученик делит сумму успехов не на долю, а умножает её на долю. Если успехов было 30 и они составили 1/3 опытов, объём не равен 10: он равен 30 : (1/3)=90. Ошибка №2. Ученик считает, что раз событие отмечалось 12 раз, всего было 12 опытов. Число наблюдений события не может превышать общий размер, но часто бывает меньше его. Ошибка №3. Ученик складывает относительные частоты разных серий, вместо того чтобы складывать абсолютные количества и делить на сумму размеров.

В каждой карточке полезно провести обратную проверку: умножьте найденный объём нужной совокупности на заданную относительную частоту. Должно получиться целое и ровно указанное количество наступлений события. Также проверьте, что число успехов каждой серии не превосходит количество испытаний в ней. Эти два условия помогают заметить ошибку до проверки учителем.

Для взаимной проверки ученики могут поменяться вариантами и объяснить не только числовой результат, но и выбор знаменателя. Если в третьей серии случилось 12 успехов из 30 попыток, её доля равна 2/5. Это не означает, что та же доля обязательно сохранится во всех других сериях; поэтому в варианте Б вы не вправе переносить её на весь объединённый эксперимент.