Восстановление размера выборки для таблицы с неполным итогом — тренажёр для 7 класса

7 класс · Частоты и вероятности · MATH-1388. Объяснение и доказательство для таблиц с неполной итоговой строкой. Условие про долю относится к тем же самым наблюдениям, что и числовые строки таблицы. При восстановлении объёма выборки покажите, почему результат единственный и как проверить пропущенную категорию.

Спорное утверждение: «частичного итога всегда достаточно»

Пусть в таблице указано: событие А — 12 раз, Б — 9 раз, В — неизвестно. Известно, что А составило 1/4 всей выборки. Тогда n=12:(1/4)=48 и частота В равна 48−12−9=27. Но без условия о доле А общий размер из чисел 12 и 9 определить нельзя: В могло бы встретиться 1, 10 или 50 раз. Поэтому при неполном итоге сначала ищите дополнительное числовое условие.

Почему формула работает? Относительная частота категории А — A/n. Когда она точно равна p и p>0, из A/n=p следует n=A/p. Затем, если категории А, Б и В не пересекаются и исчерпывают результаты, выполняется n=A+Б+В. Значит В=n−A−Б. Последнее выражение обязано быть неотрицательным целым числом.

Две неизвестные клетки этой таблицы нельзя заполнять одним и тем же числом. Сначала используйте информацию о доле А, чтобы найти общий размер, затем вычтите уже подсчитанные частоты двух известных строк. Для контроля запишите заполненную таблицу повторно: А=12, Б=9, В=27, всего 48. Строки без пересечений дают ровно 48 исходов, а доля А действительно 12/48=1/4.

Проверка особых случаев

Если дополнительно указано «А и Б вместе составляют 2/5 выборки», берите (A+Б)/(2/5), а не A/(2/5). Если доля была округлена до целого процента, точный объём может быть неоднозначным; во всех упражнениях ниже доли даны точно. Если вычисленное число наблюдений пропущенной категории отрицательно, данные противоречивы и достоверного ответа нет.

Самостоятельные задачи на доказательство (1–12)

В каждой задаче категории А, Б и В несовместимы и охватывают все испытания. Запишите два разных аргумента: вычисление объёма по доле и проверку суммой абсолютных частот.

1. Неполная таблица: А — 5, Б — 5, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 1/4 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
2. Неполная таблица: А — 10, Б — 8, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 2/5 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
3. Неполная таблица: А — 11, Б — 7, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 3/8 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
4. Неполная таблица: А — 10, Б — 10, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 2/5 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
5. Неполная таблица: А — 10, Б — 8, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 1/3 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
6. Неполная таблица: А — 14, Б — 10, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 2/5 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
7. Неполная таблица: А — 12, Б — 12, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 3/8 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
8. Неполная таблица: А — 13, Б — 11, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 1/3 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
9. Неполная таблица: А — 17, Б — 13, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 2/5 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
10. Неполная таблица: А — 15, Б — 15, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 3/8 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
11. Неполная таблица: А — 16, Б — 14, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 1/3 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.
12. Неполная таблица: А — 20, Б — 16, В — «?», итог — «?». Доля А и Б вместе составляет точно 3/8 выборки. Восстановите число наблюдений, неизвестную частоту В и объясните, почему делить только А на указанную долю нельзя.

Решения с обратной проверкой

1. А+Б=5+5=10. Общий объём 10 : 1/4=40. Значит В=40−10=30. Обратная проверка: (5+5)/40=1/4. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
2. А+Б=10+8=18. Общий объём 18 : 2/5=45. Значит В=45−18=27. Обратная проверка: (10+8)/45=2/5. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
3. А+Б=11+7=18. Общий объём 18 : 3/8=48. Значит В=48−18=30. Обратная проверка: (11+7)/48=3/8. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
4. А+Б=10+10=20. Общий объём 20 : 2/5=50. Значит В=50−20=30. Обратная проверка: (10+10)/50=2/5. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
5. А+Б=10+8=18. Общий объём 18 : 1/3=54. Значит В=54−18=36. Обратная проверка: (10+8)/54=1/3. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
6. А+Б=14+10=24. Общий объём 24 : 2/5=60. Значит В=60−24=36. Обратная проверка: (14+10)/60=2/5. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
7. А+Б=12+12=24. Общий объём 24 : 3/8=64. Значит В=64−24=40. Обратная проверка: (12+12)/64=3/8. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
8. А+Б=13+11=24. Общий объём 24 : 1/3=72. Значит В=72−24=48. Обратная проверка: (13+11)/72=1/3. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
9. А+Б=17+13=30. Общий объём 30 : 2/5=75. Значит В=75−30=45. Обратная проверка: (17+13)/75=2/5. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
10. А+Б=15+15=30. Общий объём 30 : 3/8=80. Значит В=80−30=50. Обратная проверка: (15+15)/80=3/8. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
11. А+Б=16+14=30. Общий объём 30 : 1/3=90. Значит В=90−30=60. Обратная проверка: (16+14)/90=1/3. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.
12. А+Б=20+16=36. Общий объём 36 : 3/8=96. Значит В=96−36=60. Обратная проверка: (20+16)/96=3/8. Делить лишь А нельзя, потому что задана доля объединённых категорий.

Почему другие ответы невозможны

У каждого примера есть точное положительное значение доли q известного подытога S. Равенство S/n=q можно преобразовать к n=S/q, поэтому оно допускает ровно одно положительное n. После этого число в пропущенной строке не выбирают наугад: его определяет разность n−S. Если данные указаны без округления и категории действительно исчерпывают результаты, второй допустимый итог невозможен.

Сравним два отчёта. Первый сообщает только «А=14, Б=11, В неизвестно». Здесь итог может быть любым целым числом не меньше 25, поэтому ответа о размере выборки нет. Второй добавляет «А и Б составили половину всех результатов». Теперь их сумма 25, значит n=50, а В=25. Это не различие в сложении: это различие в количестве сведений.

При проверке ошибочного решения не стоит ограничиваться фразой «не так посчитано». Укажите, какое именно условие было нарушено: использована доля не той группы, перепутаны абсолютная и относительная частоты, не выполнена сумма категорий или проигнорирована точность указанных процентов. Так пояснение превращается в математическое доказательство.

Проведите дополнительную проверку после решения каждого пункта: доля А и Б в совокупности должна совпасть с условием, а частота В — не выходить за пределы от нуля до общего числа опытов. Наконец, проверьте, что число n больше или равно любой из его частей. Это помогает отличить арифметическую описку от неполноты исходных данных: при нехватке условия существует несколько допустимых итогов, а при нарушении данных — ни одного.