Восстановление общего знаменателя после разложения на множители: задания с разбором, 8 класс

8 класс · Рациональные выражения · MATH-1445. Табличный практикум по восстановлению наименьшего общего знаменателя (НОЗ) после разложения знаменателей на множители. Цель: найти все различные множители, выбрать максимальные степени, записать дополнительные множители и не потерять исходные ограничения.

Содержание статьи8 разделов

Таблица приёмов: как не взять лишний множитель

Знаменатели в разложенном виде Наименьший общий знаменатель Дополнительные множители
(x − 2)(x + 1) (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x + 1)(x − 5) (x − 5) и (x + 1)
(x + 3)2 (x + 3)(x − 4) (x + 3)2(x − 4) (x − 4) и (x + 3)
(x − 1)(x + 2) (x + 2)2 (x − 1)(x + 2)2 (x + 2) и (x − 1)

В первой строке оба знаменателя имеют общий множитель (x − 2). В общий знаменатель он входит один раз, а не два. Во второй строке максимальная степень общего множителя — квадрат. НОЗ определён с точностью до ненулевого числового множителя; здесь используется удобный приведённый вид. Например, множители 2 и 3 перед выражениями не меняют набор запрещённых значений, но при подборе НОЗ числовые коэффициенты тоже учитывают.

Область допустимых значений (ОДЗ) устанавливают по исходным знаменателям, ещё до сокращений. Если x = 2 обращает любой исходный знаменатель в ноль, эта точка навсегда исключена, даже если соответствующий множитель потом сократится.

Задания 1–10. Восстановите недостающие множители

  1. Знаменатели: D₁ = (x − 1)(x + 2), D₂ = (x + 2)(x − 4). Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  2. Знаменатели: D₁ = (x − 3)x, D₂ = (x − 3)(x − 6). Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  3. Знаменатели: D₁ = (x + 1)2, D₂ = (x + 1)(x − 5). Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  4. Знаменатели: D₁ = (x − 2)(x − 7), D₂ = (x − 2)2. Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  5. Знаменатели: D₁ = (x + 4)(x − 1), D₂ = (x + 4)(x − 6). Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  6. Знаменатели: D₁ = x2(x + 3), D₂ = x(x + 3)2. Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  7. Знаменатели: D₁ = (x − 5)(x + 2), D₂ = (x − 5)(x − 8). Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  8. Знаменатели: D₁ = (x + 5)2(x − 2), D₂ = (x + 5)(x − 2)2. Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  9. Знаменатели: D₁ = (x − 1)2(x + 6), D₂ = (x − 1)(x + 6)2. Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.
  10. Знаменатели: D₁ = (x − 4)(x + 1), D₂ = (x + 1)(x − 2). Запишите НОЗ, оба дополнительных множителя и ОДЗ.

Задания 11–14. Найдите противоречие в готовом решении

  1. D₁ = (x − 2)(x − 5), D₂ = (x − 2)(x + 1). Ученик написал НОЗ = (x − 2)2(x − 5)(x + 1). Исправьте и докажите.
  2. D₁ = (x + 2)2, D₂ = (x + 2)(x − 3). Ученик взял НОЗ = (x + 2)(x − 3). Исправьте и докажите.
  3. D₁ = x(x − 6), D₂ = (x − 6)(x − 9). Ученик указал ОДЗ только x ≠ 6, 9. Исправьте и докажите.
  4. D₁ = (x − 3)(x + 4), D₂ = (x − 3)2. Ученик домножил вторую дробь на (x + 4)(x − 3). Исправьте и докажите.

Задания 15–18. Проверьте приведение дробей

  1. Приведите дроби (3)/((x − 1)(x − 4)) и (5)/((x − 4)(x + 2)) к НОЗ. Запишите новые числители; назовите запрещённые значения.
  2. Приведите дроби (2)/((x + 3)(x − 2)) и (7)/((x − 2)(x − 6)) к НОЗ. Запишите новые числители; назовите запрещённые значения.
  3. Приведите дроби (4)/(x(x + 5)) и (1)/(x(x − 3)) к НОЗ. Запишите новые числители; назовите запрещённые значения.
  4. Приведите дроби (6)/((x − 7)(x − 1)) и (3)/((x − 7)(x + 4)) к НОЗ. Запишите новые числители; назовите запрещённые значения.

Ключ для самопроверки

Дополнительные множители и ОДЗ — 1–10

  1. НОЗ = (x + 2)(x − 1)(x − 4); множители: к D₁ — (x − 4), к D₂ — (x − 1). ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 1, x ≠ 4. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  2. НОЗ = x(x − 3)(x − 6); множители: к D₁ — (x − 6), к D₂ — x. ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  3. НОЗ = (x + 1)2(x − 5); множители: к D₁ — (x − 5), к D₂ — (x + 1). ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 5. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  4. НОЗ = (x − 2)2(x − 7); множители: к D₁ — (x − 2), к D₂ — (x − 7). ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 7. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  5. НОЗ = (x + 4)(x − 1)(x − 6); множители: к D₁ — (x − 6), к D₂ — (x − 1). ОДЗ: x ≠ -4, x ≠ 1, x ≠ 6. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  6. НОЗ = (x + 3)2x2; множители: к D₁ — (x + 3), к D₂ — x. ОДЗ: x ≠ -3, x ≠ 0. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  7. НОЗ = (x + 2)(x − 5)(x − 8); множители: к D₁ — (x − 8), к D₂ — (x + 2). ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 5, x ≠ 8. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  8. НОЗ = (x + 5)2(x − 2)2; множители: к D₁ — (x − 2), к D₂ — (x + 5). ОДЗ: x ≠ -5, x ≠ 2. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  9. НОЗ = (x + 6)2(x − 1)2; множители: к D₁ — (x + 6), к D₂ — (x − 1). ОДЗ: x ≠ -6, x ≠ 1. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.
  10. НОЗ = (x + 1)(x − 2)(x − 4); множители: к D₁ — (x − 2), к D₂ — (x − 4). ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 2, x ≠ 4. Проверка: после домножения каждый исходный знаменатель превращается в НОЗ.

Исправления неверных решений — 11–14

  1. Лишняя вторая степень (x − 2); НОЗ = (x − 2)(x − 5)(x + 1). ОДЗ: x ≠ −1, 2, 5.
  2. Не учтён квадрат первого множителя; НОЗ = (x + 2)2(x − 3). ОДЗ: x ≠ −2, 3.
  3. Забыт нуль как корень первого знаменателя. ОДЗ: x ≠ 0, 6, 9; НОЗ = x(x − 6)(x − 9).
  4. Это добавляет лишний множитель (x − 3). НОЗ = (x − 3)2(x + 4); для D₂ достаточно множителя (x + 4). ОДЗ: x ≠ −4, 3.

Новые числители — 15–18

  1. НОЗ = (x + 2)(x − 1)(x − 4). Новые числители: 3·(x + 2) и 5·(x − 1). ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 1, x ≠ 4. При обратном сокращении каждой полученной дроби восстанавливается исходная.
  2. НОЗ = (x + 3)(x − 2)(x − 6). Новые числители: 2·(x − 6) и 7·(x + 3). ОДЗ: x ≠ -3, x ≠ 2, x ≠ 6. При обратном сокращении каждой полученной дроби восстанавливается исходная.
  3. НОЗ = (x + 5)x(x − 3). Новые числители: 4·(x − 3) и 1·(x + 5). ОДЗ: x ≠ -5, x ≠ 0, x ≠ 3. При обратном сокращении каждой полученной дроби восстанавливается исходная.
  4. НОЗ = (x + 4)(x − 1)(x − 7). Новые числители: 6·(x + 4) и 3·(x − 1). ОДЗ: x ≠ -4, x ≠ 1, x ≠ 7. При обратном сокращении каждой полученной дроби восстанавливается исходная.

Контроль рассуждения: произведение знаменателей всегда является общим знаменателем, но при общем множителе обычно не является наименьшим. Для проверки НОЗ разделите его на каждый исходный знаменатель: должно получиться целое многочленное выражение без новых знаменателей. Затем убедитесь, что ни один множитель НОЗ нельзя убрать, сохранив это свойство.

Учителю: попросите учащихся отдельно выделить область допустимых значений красной строкой, затем закрыть ответ и восстановить недостающие множители по уже приведённым знаменателям. Хорошее объяснение должно содержать не только итоговый НОЗ, но и обоснование, почему в нём стоит именно максимальная, а не суммарная степень общего множителя.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым