Восстановление общего знаменателя при равенстве числителя нулю — мини-практикум с ответами, 8 класс

8 класс · Рациональные выражения · MATH-1446. Мини-практикум с обратной проверкой. В каждом примере две рациональные дроби приводятся к общему знаменателю, затем исследуется нуль нового числителя. Важнее всего проверить найденные корни по исходной ОДЗ.

Сначала восстановите общий знаменатель, затем ищите нули

Разобранный пример. (x − 5)/((x − 2)) + (x − 5)/((x − 6)) = 0. Исходные знаменатели обращаются в ноль при x = 2 и x = 6; значит, эти значения запрещены. Общий знаменатель: (x − 2)(x − 6). Новый числитель: (x − 5)[(x − 6) + (x − 2)] = (x − 5)(2x − 8). Кандидаты x = 5 и x = 4. Оба допустимы; подстановка в исходные дроби подтверждает равенство нулю.

Важная тонкость: условие «числитель равен нулю» верно для рационального выражения только при ненулевом знаменателе. Уравнение вида числитель = 0 без ОДЗ может добавить посторонний корень. И наоборот, если второй множитель числителя остаётся ненулевым, корень первого множителя нужно проверить, а не отбросить.

Изменённое условие: ловушка при сокращении

Заменим первый знаменатель на (x − 5): (x − 5)/((x − 5)) − (x − 5)/((x − 7)) = 0. После домножения на (x − 5)(x − 7) получаем (x − 5)[(x − 7) − (x − 5)] = −2(x − 5) = 0, то есть кандидат x = 5. Но x = 5 запрещено исходным первым знаменателем. Ответ: решений нет. Нельзя заменить (x − 5)/(x − 5) на единицу при x = 5: исходная дробь там не определена.

Задачи 1–15. Выпишите ОДЗ, НОЗ, кандидатов и итоговый ответ

1. (x − 7)/((x − 1)) + (x − 7)/((x − 5)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
2. (x + 3)/((x + 3)) + (x + 3)/((x − 3)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
3. (x − 8)/((x − 2)) + (x − 8)/((x − 8)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
4. (x + 4)/((x + 4)) + (x + 4)/((x − 2)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
5. (x − 4)/(x) + (x − 4)/((x − 6)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
6. (x − 10)/((x − 4)) + (x − 10)/((x − 10)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
7. (x − 2)/((x + 5)) + (x − 2)/((x − 1)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
8. (x + 2)/((x + 2)) + (x + 2)/((x − 4)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
9. (x − 6)/((x − 1)) − (x − 6)/((x − 4)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
10. (x + 1)/((x + 1)) − (x + 1)/((x − 3)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
11. (x − 9)/((x − 5)) − (x − 9)/((x − 7)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
12. (x + 6)/((x + 6)) − (x + 6)/((x + 2)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
13. (x)/(x) − (x)/((x − 9)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
14. (x − 8)/((x + 3)) − (x − 8)/((x − 7)) = 0 Найдите и проверьте все корни.
15. (x − 2)/((x − 2)) − (x − 2)/((x − 6)) = 0 Найдите и проверьте все корни.

Ключ и обратная проверка

1. НОЗ (x − 1)(x − 5), ОДЗ: x ≠ 1, 5. Полученный числитель: (x − 7)·(2x − 6). Кандидаты: x = 3, x = 7; после удаления запрещённых: x = 3, x = 7. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
2. НОЗ (x + 3)(x − 3), ОДЗ: x ≠ -3, 3. Полученный числитель: (x + 3)·(2x). Кандидаты: x = -3, x = 0; после удаления запрещённых: x = 0. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
3. НОЗ (x − 2)(x − 8), ОДЗ: x ≠ 2, 8. Полученный числитель: (x − 8)·(2x − 10). Кандидаты: x = 5, x = 8; после удаления запрещённых: x = 5. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
4. НОЗ (x + 4)(x − 2), ОДЗ: x ≠ -4, 2. Полученный числитель: (x + 4)·(2x + 2). Кандидаты: x = -4, x = -1; после удаления запрещённых: x = -1. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
5. НОЗ x(x − 6), ОДЗ: x ≠ 0, 6. Полученный числитель: (x − 4)·(2x − 6). Кандидаты: x = 3, x = 4; после удаления запрещённых: x = 3, x = 4. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
6. НОЗ (x − 4)(x − 10), ОДЗ: x ≠ 4, 10. Полученный числитель: (x − 10)·(2x − 14). Кандидаты: x = 7, x = 10; после удаления запрещённых: x = 7. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
7. НОЗ (x + 5)(x − 1), ОДЗ: x ≠ -5, 1. Полученный числитель: (x − 2)·(2x + 4). Кандидаты: x = -2, x = 2; после удаления запрещённых: x = -2, x = 2. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
8. НОЗ (x + 2)(x − 4), ОДЗ: x ≠ -2, 4. Полученный числитель: (x + 2)·(2x − 2). Кандидаты: x = -2, x = 1; после удаления запрещённых: x = 1. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
9. НОЗ (x − 1)(x − 4), ОДЗ: x ≠ 1, 4. Полученный числитель: (x − 6)·(−3). Кандидаты: x = 6; после удаления запрещённых: x = 6. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
10. НОЗ (x + 1)(x − 3), ОДЗ: x ≠ -1, 3. Полученный числитель: (x + 1)·(−4). Кандидаты: x = -1; после удаления запрещённых: нет допустимых решений. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
11. НОЗ (x − 5)(x − 7), ОДЗ: x ≠ 5, 7. Полученный числитель: (x − 9)·(−2). Кандидаты: x = 9; после удаления запрещённых: x = 9. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
12. НОЗ (x + 6)(x + 2), ОДЗ: x ≠ -6, -2. Полученный числитель: (x + 6)·(−4). Кандидаты: x = -6; после удаления запрещённых: нет допустимых решений. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
13. НОЗ x(x − 9), ОДЗ: x ≠ 0, 9. Полученный числитель: x·(−9). Кандидаты: x = 0; после удаления запрещённых: нет допустимых решений. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
14. НОЗ (x + 3)(x − 7), ОДЗ: x ≠ -3, 7. Полученный числитель: (x − 8)·(−10). Кандидаты: x = 8; после удаления запрещённых: x = 8. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.
15. НОЗ (x − 2)(x − 6), ОДЗ: x ≠ 2, 6. Полученный числитель: (x − 2)·(−4). Кандидаты: x = 2; после удаления запрещённых: нет допустимых решений. Проверка: для каждого оставшегося значения числитель равен нулю, а оба исходных знаменателя ненулевые.

Почему проверка необходима и когда она избыточна

При умножении обеих частей равенства на общий знаменатель мы меняем область рассмотрения, если забываем исходные ограничения. Поэтому новые корни нужно сверять с исходной задачей. В некоторых заданиях кандидат совпадает с нулём знаменателя, и тогда уравнение после умножения имеет решение, но исходное — нет. Именно это называют посторонним решением. Если кандидат удовлетворяет ОДЗ и обращает общий числитель в ноль, обратная подстановка даёт ноль, потому что знаменатель не равен нулю.

Сравните задания с плюсом и минусом. При сложении появляются два возможных линейных множителя нового числителя; при вычитании одинаковых числителей разность выражений в скобках становится постоянной. Это не значит, что второе уравнение «проще всегда»: при попадании найденного кандидата в ОДЗ итог может быть пустым. Ученик должен аргументировать именно количество допустимых решений.

Для работы без подсказок можно сначала записывать только четыре пункта — ОДЗ, НОЗ, числитель, проверка, — и лишь затем смотреть ключ. Если в ответе указан один кандидат без проверки, даже правильное числовое значение ещё не доказывает правильности решения. При оформлении следует отличать запрещённое значение переменной от обычного корня числителя.

Проверяем две характерные ловушки шаг за шагом

Первая ловушка — нулевой числитель и запрещённая точка одновременно. Возьмём (x − 2)/(x − 2) − (x − 2)/(x − 6) = 0. ОДЗ: x ≠ 2, 6. Общий знаменатель (x − 2)(x − 6). Новый числитель (x − 2)[(x − 6) − (x − 2)] = −4(x − 2). Единственный кандидат x = 2 запрещён. Поэтому исходное уравнение не имеет решений. Нельзя сначала сократить первый множитель и затем вернуть x = 2: в первоначальной записи отсутствует значение функции в этой точке.

Вторая ловушка — два законных кандидата. Для (x − 3)/(x − 1) + (x − 3)/(x − 7) = 0 ОДЗ x ≠ 1, 7. Новый числитель равен (x − 3)(2x − 8). Получены x = 3 и x = 4, оба не запрещены. Проверим x = 3: обе дроби дают 0. При x = 4 получаем 1/3 + 1/(−3) = 0. Ни один из двух корней не следует терять при сокращениях и делении на выражение с переменной.

Ещё один способ проверить НОЗ — мысленно вернуть каждую дробь из приведённой формы: умноженные числитель и знаменатель должны сокращаться на один и тот же дополнительный множитель. Но такая обратная операция верна только на исходной области определения. Для контрольной записи рекомендуются отдельные строки «ОДЗ», «НОЗ», «новый числитель», «проверка»: это позволяет учителю быстро обнаружить, на каком шаге допущена ошибка, даже если итог совпал с ключом.