Поиск постороннего решения после разложения на множители — тренажёр для 8 класса

8 класс · Рациональные выражения · MATH-1450. Тренажёр анализа ошибок после разложения рациональных уравнений на множители. Здесь прежде всего проверяется ход преобразований: иногда найденный корень отбрасывается из-за исходного знаменателя, иногда ученик теряет корень, деля уравнение на переменный множитель.

Начните с ошибочного решения

«Решить (x² − x − 6)/(x² − 4) = 0. Разложим: (x − 3)(x + 2)/[(x − 2)(x + 2)] = 0. Сокращаем (x + 2); получаем x = 3 и x = −2». В ответе допущено противоречие: x = −2 запрещён исходным знаменателем. Сокращение разрешено только на ОДЗ x ≠ ±2, поэтому единственный корень x = 3.

Порядок исправления: 1) разложите исходный знаменатель; 2) выпишите его нули; 3) найдите корни числителя; 4) оставьте только допустимые; 5) подставьте ответ в исходную дробь. При сокращении с одинаковым множителем помните о «дыре» в области определения.

Пять видов ошибок: укажите номер нарушения и исправьте

1. «У числителя (x − 5)(x + 1) два корня, значит у дроби с знаменателем (x − 5)(x − 2) всегда два решения».
2. «Для дроби (x − 3)(x − 7)/[(x − 7)(x + 4)] после сокращения x = 7 можно проверить подстановкой в сокращённый вид».
3. «Уравнение x(x − 6)/[(x − 1)(x − 9)] = 0 решим делением обеих частей на x; поэтому x = 6».
4. «Из (x − 4)(x + 2)/[(x − 4)(x − 3)] = 0 следует 0 = 0 для x = 4, поэтому это бесконечно много решений».
5. «Если знаменатель равен (x − 5)², значение x = 5 исключено дважды, значит можно учесть его как два разных посторонних корня».

Самостоятельное закрепление: факторизуйте и проверьте

6. В уравнении (x² − 6x + 5)/(x² − 9x + 8) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
7. В уравнении (x² − x − 6)/(x² + x − 12) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
8. В уравнении (x² − 7x)/(x² − 11x + 18) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
9. В уравнении (x² + 6x + 5)/(x² − 3x − 4) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
10. В уравнении (x² − 8x + 12)/(x² − 8x + 12) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
11. В уравнении (x² − 5x − 24)/(x² + 2x − 3) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
12. В уравнении (x² − 13x + 36)/(x² − 9x) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
13. В уравнении (x² + 4x − 12)/(x² + x − 30) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
14. В уравнении (x² − 13x + 30)/(x² − 14x + 33) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.
15. В уравнении (x² − 5x − 6)/(x² − 4x − 12) = 0 разложите на множители числитель и знаменатель, найдите кандидатов и отберите допустимые корни.

Ответы: найдите, какую ошибку вы допустили

Исправление пяти рассуждений

1. x = 5 запрещён, x = −1 разрешён; ответ x = −1. Ошибка: отсутствие ОДЗ.
2. Исходный знаменатель при x = 7 равен нулю; проверить можно только x = 3, который допустим. Ошибка: проверка не в исходном выражении.
3. При делении на x теряется законный корень x = 0. ОДЗ: x ≠ 1, 9. Ответ x = 0, 6.
4. При x = 4 исходный знаменатель равен нулю. После сокращения числитель x + 2 равен нулю только при x = −2. Ответ x = −2.
5. Число x = 5 — одно запрещённое значение, хотя соответствующий множитель повторяется два раза. В ОДЗ повторения не записывают.

Ключ к заданиям 6–15

6. Числитель (x − 1)(x − 5), знаменатель (x − 1)(x − 8); ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ 8. Кандидаты x = 1, x = 5. Правильный ответ: x = 5. Проверяем именно исходную дробь.
7. Числитель (x + 2)(x − 3), знаменатель (x + 4)(x − 3); ОДЗ: x ≠ -4, x ≠ 3. Кандидаты x = -2, x = 3. Правильный ответ: x = -2. Проверяем именно исходную дробь.
8. Числитель x(x − 7), знаменатель (x − 2)(x − 9); ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 9. Кандидаты x = 0, x = 7. Правильный ответ: x = 0, x = 7. Проверяем именно исходную дробь.
9. Числитель (x + 5)(x + 1), знаменатель (x + 1)(x − 4); ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 4. Кандидаты x = -5, x = -1. Правильный ответ: x = -5. Проверяем именно исходную дробь.
10. Числитель (x − 2)(x − 6), знаменатель (x − 2)(x − 6); ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 6. Кандидаты x = 2, x = 6. Правильный ответ: нет допустимых решений. Проверяем именно исходную дробь.
11. Числитель (x + 3)(x − 8), знаменатель (x + 3)(x − 1); ОДЗ: x ≠ -3, x ≠ 1. Кандидаты x = -3, x = 8. Правильный ответ: x = 8. Проверяем именно исходную дробь.
12. Числитель (x − 4)(x − 9), знаменатель x(x − 9); ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 9. Кандидаты x = 4, x = 9. Правильный ответ: x = 4. Проверяем именно исходную дробь.
13. Числитель (x + 6)(x − 2), знаменатель (x + 6)(x − 5); ОДЗ: x ≠ -6, x ≠ 5. Кандидаты x = -6, x = 2. Правильный ответ: x = 2. Проверяем именно исходную дробь.
14. Числитель (x − 3)(x − 10), знаменатель (x − 3)(x − 11); ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ 11. Кандидаты x = 3, x = 10. Правильный ответ: x = 10. Проверяем именно исходную дробь.
15. Числитель (x + 1)(x − 6), знаменатель (x + 2)(x − 6); ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 6. Кандидаты x = -1, x = 6. Правильный ответ: x = -1. Проверяем именно исходную дробь.

Критерии: 1 балл за исходную ОДЗ, 1 балл за правильную факторизацию и 1 балл за окончательный набор корней. Для анализа ошибочных решений оценивается также объяснение, какое неверное действие сделало ответ недостоверным. Проверьте себя на примерах №10 и №12: совпадение множителей само по себе не разрешает подставлять запрещённые значения.

Если в готовом решении множитель сокращён до записи ОДЗ, восстановите исходный знаменатель и перечислите его корни. Если при делении обеих частей уравнения на (x − a) мог потеряться вариант x = a, этот вариант нужно рассмотреть отдельно, если исходная дробь в нём определена. Простая подстановка в сокращённое выражение не заменяет проверку исходного условия.