Поиск ошибки в диаграмме с неодинаковой шкалой — тренажёр по математике, 5 класс

Тренажёр для 5 класса. Главный вопрос: можно ли сравнивать столбцы, если подписи на вертикальной оси расположены через одинаковое расстояние, но числа растут неравномерно? Здесь учимся обнаруживать и исправлять ошибку шкалы, а не только вычислять высоту столбца. Все задания доступны без готовых картинок: шкалы и данные записаны числами так, чтобы ученик мог начертить их в тетради.

Метод четырёх проверок

1. Посмотри на начало оси. Оно может быть нулём, но если ось обрезана, это должно быть явно показано. Для столбчатых диаграмм лучше начинать с нуля: иначе зрительное сравнение высоты может обмануть.
2. Найди расстояния между отметками. В заданиях ниже каждый соседний штрих нанесён через одну клетку.
3. Вычти соседние числа. При обычной линейной шкале равные расстояния должны соответствовать одинаковым числовым прибавкам: например, 0, 5, 10, 15.
4. Определи вид ошибки. Одно неверное число исправь по общей разности; если показаны скачки масштаба, предложи новые равномерные подписи. Если это специально нелинейная шкала, её нельзя выдавать за обычную без предупреждения.

Важно: графики с настоящей логарифмической осью существуют, но это другая математическая модель. В этих заданиях речь идёт только о равномерной линейной оси с равными интервалами на бумаге.

Три разобранных примера

Пример 1. Неправильная подпись одного штриха

На одинаково удалённых делениях оси стоят числа 0, 5, 10, 20, 25. Последовательные разности: 5, 5, 10, 5. Третья разность отличается от остальных. Следовательно, шкала неравномерна. Если предполагаем шаг 5, четвёртая отметка должна быть 15, а пятая — 20. Исправлять одно число «20 → 15» недостаточно: после этого останется скачок от 15 до 25. Правильная последовательность целиком: 0, 5, 10, 15, 20.

Пример 2. Числа верны, но столбец прочитан ошибочно

Подписи штрихов: 0, 4, 8, 12, 16. Столбец доходит до третьего штриха выше нуля. Он обозначает 12, а не 3 и не 16: считаем цену деления 4 и три шага, получаем 3 × 4 = 12. Другой столбец достиг второго штриха: 2 × 4 = 8. Разница равна 4 единицам, хотя визуально столбцы различаются на одну клетку.

Пример 3. Ось обрезана и преувеличивает разницу

На оси видны 40, 50, 60, 70 — равномерный шаг 10, но ноль не показан. Значения двух столбцов 50 и 60. Их действительная разность составляет 10, отношение — 60 : 50 = 1,2. Если строить видимые отрезки только над отметкой 40, длины будут 10 и 20, то есть один отрезок визуально вдвое длиннее другого. Это не означает, что 60 вдвое больше 50. Исправление для честного сравнения длин столбцов — ось от 0 с равномерным шагом.

Задания с подсказками

Во всех заданиях расстояние между соседними делениями одинаково. Запиши разности между числами и только потом отвечай. Если требуется «исправить», считай, что нулевая отметка и указанная в вопросе цена деления заведомо верны.

Этап I. Найти сбой

1. Шкала: 0, 2, 4, 8, 10. Равномерна ли она? Если нет, укажи первую неправильную разность. Подсказка: вычисли четыре разности.
2. Шкала: 0, 10, 20, 30, 40. Два столбца доходят до отметок 20 и 40. Во сколько раз второе значение больше первого? Подсказка: дели значения, а не число клеток.
3. Шкала: 5, 10, 15, 20, 25. Есть ли нарушение равномерности? Можно ли без оговорки считать первую отметку «нулём»? Подсказка: различай шаг и начало оси.
4. Шкала: 0, 3, 6, 9, 15. Укажи неправильный шаг и предложи пять правильных отметок при цене деления 3.
5. Шкала: 0, 5, 15, 20, 25. Ученик утверждает: «столбец до четвёртого штриха выше нуля означает 20 единиц». Можно ли доверять такому выводу до исправления шкалы? Чему соответствует этот штрих после корректной разметки с шагом 5?

Этап II. Восстановить правильную разметку

6. Нулевая отметка — 0, цена деления 6. На листе ошибочно подписаны 0, 6, 12, 16, 24. Перепиши пять правильных подписей. Затем найди значение третьего шага над нулём.
7. Шкала для числа собранных батареек должна иметь шаг 4 штуки. Рядом с пятью штрихами напечатано 0, 4, 8, 14, 16. Что нужно заменить? Сколько штук обозначает четвёртый шаг над нулём, если его дорисовать?
8. На диаграмме три столбца: А достиг отметки 6, Б — 12, В — 18; подписи оси 0, 6, 12, 18. Найди сумму всех значений и разность В − А. Укажи, почему шкала корректна.
9. На оси подписаны 0, 8, 16, 24, 32. Столбец С высотой 3 деления прочитали как «3 участника». Исправь ответ и объясни роль цены деления.
10. Ось для числа литров размечена 0, 7, 14, 28, 35. При цене 7 литров за деление запиши верную шкалу и значение столбца высотой четыре деления.

Этап III. Не перепутать разницу и впечатление

11. На оси от 50 с шагом 10 нанесены значения 60 и 80. Найди действительную разность и отношение. Почему визуальные части выше 50 дают другое отношение?
12. На обычной оси 0, 5, 10, 15, 20 два столбца достигают 10 и 15. Ученик объявил рост «на 50 процентов» (половину прежнего). Проверь вычислением; ошибочна ли эта фраза?
13. На шкале 0, 1, 2, 4, 8 расстояния одинаковые. Можно ли отмерять по ней школьную столбчатую диаграмму как по линейной шкале? Предложи пять подписей с шагом 2.
14. Вариант исправления: подписи 0, 5, 10, 15, 20; высоты столбцов X = 4 деления, Y = 3 деления, Z = 1 деление. Вычисли значения и проверь, что X = Y + Z. Затем объясни, почему это сравнение нельзя повторить на старой оси 0, 5, 10, 20, 25 без пересчёта.

Разбор решений по шагам

1. Разности 2, 2, 4, 2. На переходе 4 → 8 возник скачок 4 вместо 2. При шаге 2 корректная шкала 0, 2, 4, 6, 8.
2. Второе значение 40, первое 20; отношение 40 ÷ 20 = 2. Шкала равномерна, поскольку шаг везде 10.
3. Разности 5, 5, 5, 5: сама шкала равномерна. Но первая показанная отметка 5, не 0; при изображении длин столбцов это усечённая ось и её начало нельзя ошибочно называть нулём.
4. Разности 3, 3, 3, 6. Исправление: 0, 3, 6, 9, 12. Последний скачок был вдвое больше нужного.
5. Разности 5, 10, 5, 5, значит шкала неравномерна; доверять прочитанной «высоте» как количеству одинаковых делений нельзя. После разметки 0, 5, 10, 15, 20 четвёртый штрих над нулём действительно будет означать 20. Но до исправления оси сравнение по одинаковым клеткам ненадёжно; четвёртая подпись включая ноль означала бы 15. Здесь счёт от нуля явно оговорён.
6. Шаги: 0, 6, 12, 18, 24. Ошибка «16» вместо «18». Третий шаг над нулём соответствует 3 × 6 = 18 единицам.
7. Верно 0, 4, 8, 12, 16. Нужно заменить 14 на 12; четвёртый шаг над нулём даёт 4 × 4 = 16 штук.
8. Значения 6, 12, 18, сумма 6 + 12 + 18 = 36; В − А = 18 − 6 = 12. Разности на оси равны 6, поэтому считывание корректно.
9. Высота С — 3 деления по 8, то есть 3 × 8 = 24 участника. Ошибка была в подмене числа клеток числом людей.
10. Правильные отметки 0, 7, 14, 21, 28; четыре деления соответствуют 4 × 7 = 28 л. Старая подпись «28» на четвёртом штрихе от начала списка была сдвинута на одну позицию.
11. Разность 80 − 60 = 20, отношение 80 : 60 = 4 : 3 (примерно 1,33). Выше отметки 50 длины равны 10 и 30, их отношение 3 : 1, которое не равно отношению самих значений. Обрезка усиливает впечатление о различии.
12. Прирост 15 − 10 = 5, отношение прироста к исходным 10: 5 ÷ 10 = 1/2 = 50 %. Фраза верна; не каждое утверждение о процентах ошибочно. Высоты 2 и 3 деления на одинаковой линейной шкале это подтверждают.
13. Разности 1, 1, 2, 4: шкала нелинейна, поэтому использовать её как обычную нельзя. Возможная замена: 0, 2, 4, 6, 8.
14. На новой шкале X = 4 × 5 = 20, Y = 3 × 5 = 15, Z = 1 × 5 = 5; 20 = 15 + 5. На старой неравномерной оси клетки не соответствуют одинаковым приращениям, поэтому равенство «высота 4 = высота 3 + высота 1» не доказывает равенства значений.

Что считать верным ответом

В заданиях на исправление может быть несколько допустимых новых шкал, если цена деления не задана. Здесь цена деления обычно сообщена; тогда ответ единственный. Задачи № 5 и № 11 специально проверяют чтение оговорок: «четвёртый штрих от нуля» отличается от «четвёртая подпись вместе с нулём», а визуальная длина выше усечённой оси отличается от исходной величины. В № 12 правильный результат — доказать, что объявленный процент верен. Такие случаи учат проверять данные, а не искать ошибку любой ценой.

Итог: при чтении диаграммы нельзя заменять числовую шкалу количеством клеток. Прежде чем сравнивать значения или исправлять подписи, убедись, что равные отрезки оси имеют равную числовую цену. Не смешивай штуки, литры и безразмерные отношения.