Восстановление одного значения таблицы по общей сумме: задания от простого к сложному, 5 класс

Прикладной кейс для 5 класса: восстановление одного неизвестного значения таблицы по известной общей сумме. Ученики пяти классов собирали макулатуру; все массы измерены в килограммах. Нужно заполнить единственную пустую клетку, проверить ответ и применить ту же математическую модель к связанным ситуациям. Работа рассчитана на самостоятельное решение с последующей проверкой.

Ситуация: школьный сбор макулатуры

В конце недели организаторы получили записи о массе собранной бумаги. Для класса 5В число оказалось стёртым. При этом общая масса сохранилась: 150 кг. Данные вымышленные, но ситуация и арифметические действия реалистичны.

Что известно? Пять классов сдали бумагу в общую партию. Показатель каждого класса учитывается ровно один раз, единица измерения в каждой клетке одинаковая. Из-за этого разрешено складывать значения: килограммы с килограммами. Не требуется знать число учеников в классах — задача не о массе в пересчёте на одного школьника.

Математическая модель

Обозначим массу 5В буквой x, в килограммах. Тогда сумма всех строк должна равняться общему итогу:

24 + 31 + x + 27 + 35 = 150.

Сначала сложим известные числа: 24 + 31 = 55; 55 + 27 = 82; 82 + 35 = 117. Получаем 117 + x = 150, откуда x = 150 − 117 = 33 кг. Проверяем обратным действием: 24 + 31 + 33 + 27 + 35 = 150 кг. Следовательно, потерянное число — 33.

Это общая схема: неизвестное слагаемое = известная общая сумма − сумма всех остальных слагаемых. В задаче на массу невозможно получить отрицательное значение. Если разность оказалась отрицательной, сначала проверь исходные сведения и условие, а не записывай отрицательное количество бумаги.

Связанные задания: от простого к сложному

В каждом вопросе используй ту же таблицу, если не указано новое условие. В пунктах со словами «предположим» речь идёт об отдельном сценарии: не меняй исходные данные для следующих заданий.

Этап 1. Восстановить и проверить

1. Сколько килограммов собрали четыре класса с известными значениями? Запиши сумму в удобном порядке.
2. Найди массу 5В без подбора, одним вычитанием.
3. Проверь найденное значение сложением всех пяти масс. Какую единицу измерения укажешь после суммы?
4. Какой класс собрал больше всех? На сколько килограммов его результат больше результата 5В?
5. На сколько килограммов 5В опередил 5Г?

Этап 2. Использовать восстановленную таблицу

6. Сколько килограммов вместе собрали 5Б и 5В?
7. Какая часть от общей массы 150 кг приходится на 5В? Запиши дробь, сократи её и при желании переведи в проценты.
8. Сколько килограммов нужно добавить 5В, чтобы собрать столько же, сколько 5Д?
9. Новый сценарий А: 5В принёс ещё 7 кг, результаты остальных классов прежние. Сколько теперь собрал 5В и как изменился общий итог?
10. Новый сценарий Б: общая сумма ошибочно записана как 146 кг, а четыре известных значения по-прежнему 24, 31, 27 и 35. Чему равна недостающая запись согласно такому итогу? На сколько она отличается от исходной?

Этап 3. Проверить границы модели

11. Проверка невозможного итога. Если в документе вместо 150 написали бы 110 кг при тех же четырёх известных результатах, чему формально равнялся бы x? Почему нельзя принимать это как действительную массу?
12. Уточнение записи. Выяснилось, что 5Г на самом деле собрал 30 кг, а не 27 кг. Известно, что общий итог всё равно 150 кг. Сколько тогда должно быть записано у 5В?
13. Две пустые клетки. Если бы исчезли числа одновременно у 5Б и 5В, а общий итог 150 кг и три остальные массы сохранились, можно ли было бы восстановить каждую массу по отдельности? Какое равенство осталось бы верным?
14. Новая цель. Организаторы хотят, чтобы каждый класс собрал не меньше 30 кг, не отнимая бумагу у других. Какие классы пока не выполнили цель и какое минимальное количество бумаги им нужно дополнительно собрать вместе?

Ключ ответов с пояснениями

Проверка единиц и однозначности

Пункты 1–6, 8–10, 12 и 14 требуют ответа в килограммах; № 7 спрашивает долю и потому даёт безразмерную дробь либо проценты. В № 13 нельзя писать два конкретных числа как единственно верные: одна общая сумма определяет только сумму двух неизвестных, но не их отдельные значения. В № 11 отрицательное число — сигнал противоречия условиям реальной задачи, а не допустимая масса макулатуры.

Для учителя: сначала предложите закрыть ключ ответов и решить 1–5, затем провести самостоятельную проверку равенства из математической модели. Сильным ученикам полезны 11–13: они проверяют понимание границ ответа, а не скорость арифметики. Если после нахождения x ученик не выполнил обратную проверку, вернитесь к № 3 — именно она подтверждает, что заполненная таблица согласована с общим итогом.