Проверь себя: разность двух векторов по координатам — математика, 9 класс

Разность a − b — это такое перемещение, которое нужно прибавить к b, чтобы получить a. Поэтому координатная проверка выглядит так: (a − b) + b = a. Особенно легко ошибиться, если у b есть отрицательные координаты: вычитание отрицательного числа превращается в сложение.

Схема на координатной плоскости

Представьте два вектора OA = a и OB = b, начинающиеся в O. Вектор BA направлен из конца b в конец a. Именно BA = a − b: например, a = (4; 1), b = (1; −2), тогда BA = (3; 3). Если поменять векторы местами, будет противоположный результат (−3; −3).

Фамилия и имя: __________________________ Дата: __________ Класс: 9 ____

Вопросы на понимание

1. Запишите формулу координат a − b, если a = (p; q), b = (r; s).
2. Если a − b = (0; 0), что можно утверждать об a и b?
3. Почему a − b и b − a имеют одинаковую длину, но обычно противоположные направления?
4. Дан OA = a и OB = b. Какая стрелка соответствует a − b: AB или BA?

Разность по координатам: исследовательские задания

Для пунктов 5–18 вычислите обе координаты, затем сложите найденный вектор с b. Результат должен точно совпасть с исходным a. Для сложных знаковых примеров полезно выписывать каждую компоненту в отдельной строке.

1. a = (5; 3), b = (2; 1). Вычислите a − b.
2. a = (1; -4), b = (-3; 2). Вычислите a − b.
3. a = (-2; 6), b = (4; -1). Вычислите a − b.
4. a = (0; 0), b = (3; -5). Вычислите a − b.
5. a = (7; -2), b = (7; 4). Вычислите a − b.
6. a = (-6; -3), b = (-2; -8). Вычислите a − b.
7. a = (4; 1), b = (4; 1). Вычислите a − b.
8. a = (9; -7), b = (-1; 3). Вычислите a − b.
9. a = (-3; 0), b = (0; -3). Вычислите a − b.
10. a = (2; 8), b = (-5; 8). Вычислите a − b.
11. a = (-8; 5), b = (-3; -5). Вычислите a − b.
12. a = (0; -6), b = (6; 0). Вычислите a − b.
13. a = (11; 2), b = (5; -4). Вычислите a − b.
14. a = (-1; -1), b = (1; 1). Вычислите a − b.

Задачи на доказательство и контроль

1. Известно a − b = (−2; 5), b = (4; −1). Найдите a и проверьте равенство.
2. Ученик получил для a = (3; −2), b = (−1; 5) разность (2; 3). Найдите ошибку и исправьте ответ.

Самоконтроль: 1) правильно ли расставлены скобки при вычитании отрицательных чисел; 2) сохраняется ли порядок a − b; 3) восстанавливается ли a при сложении результата с b; 4) отличается ли нулевой результат от двух ненулевых компонент? Если хотя бы один пункт вызывает сомнение, сделайте геометрическую схему с общим началом.

Полезный признак: у b − a всегда обе координаты противоположны координатам a − b. При замене порядка вычитания нельзя менять знак только одной компоненты. А если разность нулевая, векторы равны по двум координатам, даже если нарисованы в разных местах.

Ответы и критерии самопроверки

Ответы расположены после всех заданий. Если материал распечатывается ученикам, печатайте только страницы до этого раздела либо закройте ключ отдельным листом. Сверяйте не только конечное число, но и направление, знаки и смысл обозначений.

Отметьте не просто номер ошибки, но и её тип: перепутан порядок, потерян минус или перепутаны оси. Учителю удобно предложить два ближайших примера с тем же типом знаков, а не заново всю карточку. Для оценки достаточно верной пары координат и одной содержательной проверки.