Карточки для 9 класса: координаты вектора по началу и концу

По двум точкам можно восстановить не только длину отрезка, но и направленное перемещение. Если A(x₁; y₁) — начало, а B(x₂; y₂) — конец, то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Перестановка точек меняет направление: BA = −AB. Здесь специально собраны разные положения точек, чтобы формула не превращалась в угадывание по картинке.

Ступень I. Начало в нуле и простые перемещения

Вычислите координаты направленного отрезка AB. Достаточно двух вычитаний; под каждым ответом оставьте место для записи x₂ − x₁ и y₂ − y₁.

Фамилия и имя: __________________________ Дата: __________ Класс: 9 ____

1. Начало A(0; 0), конец B(3; 4). Найдите AB.
2. Начало A(0; 0), конец B(-2; 5). Найдите AB.
3. Начало A(1; 2), конец B(4; 6). Найдите AB.
4. Начало A(2; 1), конец B(5; 1). Найдите AB.
5. Начало A(-3; 2), конец B(0; 2). Найдите AB.
6. Начало A(4; -2), конец B(4; 3). Найдите AB.
7. Начало A(-1; -1), конец B(2; 2). Найдите AB.
8. Начало A(5; 5), конец B(2; 1). Найдите AB.

Ступень II. Знаки, отрицательные координаты и нулевой вектор

Если обе точки лежат слева или ниже начала координат, порядок вычитания всё равно тот же. Например, при A(−4; −3) и B(−2; 1) движение по x равно +2, а по y равно +4. Не выбирайте знак ответа по знаку одного только начального числа.

1. Начало A(-4; -3), конец B(-2; 1). Запишите AB и одну проверку.
2. Начало A(3; -4), конец B(-1; -1). Запишите AB и одну проверку.
3. Начало A(-5; 0), конец B(-2; -4). Запишите AB и одну проверку.
4. Начало A(0; 6), конец B(-3; 2). Запишите AB и одну проверку.
5. Начало A(-2; 7), конец B(4; 1). Запишите AB и одну проверку.
6. Начало A(8; -5), конец B(1; 3). Запишите AB и одну проверку.
7. Начало A(-6; -2), конец B(-1; -8). Запишите AB и одну проверку.
8. Начало A(2; -7), конец B(-4; 0). Запишите AB и одну проверку.

Ступень III. Продолжи исследование

Пункты этой ступени полезно сопровождать маленькими стрелками. При совпадении A и B получаем нулевой вектор. Если точки обменять местами, обе координаты результата меняют знак.

1. Дано A(7; 3) и B(7; 3). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
2. Дано A(-8; 5) и B(0; -3). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
3. Дано A(9; -1) и B(-2; -9). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
4. Дано A(-3; -6) и B(4; 8). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
5. Дано A(1; -9) и B(-6; 2). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
6. Дано A(-10; 4) и B(-4; -5). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
7. Дано A(6; 0) и B(0; 6). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.
8. Дано A(-7; -7) и B(-1; -1). Найдите AB, а затем объясните знак одной из компонент.

Ступень IV. Перенос результата в новую ситуацию

1. Точка A(2; 3), вектор AB = (-4; 5). Найдите координаты конца B.
2. Точка A(-3; 1), вектор AB = (6; -2). Найдите координаты конца B.
3. Точка A(0; -5), вектор AB = (-7; 3). Найдите координаты конца B.
4. Точка A(5; -4), вектор AB = (0; 0). Найдите координаты конца B.
5. Точка A(-2; -3), вектор AB = (-5; -6). Найдите координаты конца B.

1. Дано A(−2; 3), B(4; −1). Найдите координаты BA, сравните с AB и объясните геометрический смысл знака «минус».

Подсказки — читай только после своей попытки

Ступень I: сначала определите, где конец и где начало. Проверка для № 1: AB = (3 − 0; 4 − 0). Для остальных действуйте так же.

Ступень II: при разности 1 − (−3) не забудьте, что два минуса превращаются в плюс. Нулевая координата означает отсутствие перемещения по соответствующей оси.

Ступень III: не выбирайте «меньшее минус большее» — это не правило. Необходимо всегда брать координату конца минус координату начала. При A = B обе разности равны нулю.

Ступень IV: если известны A и AB, то B = A + AB. Для обратного вектора BA поменяйте знаки у обеих координат AB.

Как организовать самопроверку

Для каждого задания со знаком «−» проверьте, что точка B лежит слева или ниже точки A именно по соответствующей оси. Сделайте обратную проверку: A + AB должно совпадать с B. В текстовых комментариях оценивается не количество слов, а чётко названное направление движения.

Развёрнутые решения всех 30 заданий

Ответы расположены после всех заданий. Если материал распечатывается ученикам, печатайте только страницы до этого раздела либо закройте ключ отдельным листом. Сверяйте не только конечное число, но и направление, знаки и смысл обозначений.

Ступень I

Ступень II

Ступень III

Ступень IV

Типичные ошибки: вычитание «начало минус конец», замена отрицательного числа его модулем, а также смешение координат разных осей. Если школьник ошибся в задании 17 (совпадающие точки), попросите его отдельно объяснить, почему стрелка не имеет длины и направления, хотя запись (0; 0) существует.

Для учителя: ступени можно раздать как четыре независимые карточки. На первых двух достаточно правильных координат, на третьей оценивайте ещё и осмысленный комментарий о знаках, а на четвёртой — обратную подстановку. В программах разных школ тему координат вектора проходят с разной скоростью; при необходимости используйте только первые две ступени.

Итоговая проверка без ключа: нарисуйте произвольные две точки, вычислите AB, затем мысленно перенесите полученную стрелку к точке O. Координаты не должны измениться, поскольку свободный вектор не зависит от своего положения на чертеже.