Проверка найденных корней при дробном старшем коэффициенте — самостоятельная работа, 8 класс

Цель работы. Научиться проверять подстановкой кандидатов в корни квадратного уравнения, где коэффициент при x² — дробь. Это отдельный навык: правильный ответ по дискриминанту ещё надо подтвердить исходным равенством.

Каждая строка содержит исходное уравнение и два предложенных числа. Подставьте каждое из них непосредственно в левую часть. Ноль означает, что число — корень; любое другое значение опровергает кандидатуру.

План проверки: аккуратно вычислите квадрат числа; умножьте на дробный старший коэффициент; отдельно вычислите линейный член; сложите три слагаемых; сравните результат с нулём. Нельзя сначала округлять дроби: даже небольшое ненулевое значение опровергает корень.

Уровень I — проверка целых кандидатов

В первых восьми заданиях удобно сократить целые числа и дроби в уме. Для каждой пары сообщите: «первое верно / неверно» и «второе верно / неверно».

1. Проверьте числа 2 и 7 для уравнения (1/2)x² − (4)x + 6 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

2. Проверьте числа −3 и 0 для уравнения (−1/3)x² + (0)x + 3 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

3. Проверьте числа 1 и 5 для уравнения (3/4)x² − (9/2)x + 15/4 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

4. Проверьте числа −3 и −2 для уравнения (−2/5)x² − (2/5)x + 12/5 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

5. Проверьте числа 4 и 6 для уравнения (2/3)x² − (2)x − 8/3 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

6. Проверьте числа −2 и 2 для уравнения (−3/2)x² − (3/2)x + 3 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

7. Проверьте числа 0 и 1 для уравнения (1/4)x² + (1)x + 0 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

8. Проверьте числа 5 и 1 для уравнения (−5/6)x² + (10/3)x + 25/6 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

Уровень II — дробные числа и знаки

Здесь часть кандидатов — рациональные дроби. Ошибки обычно возникают при возведении отрицательной дроби в квадрат и при работе со знаменателями. Проверяйте без десятичного округления.

9. Проверьте числа 1/2 и 3 для уравнения (3/5)x² − (27/10)x + 6/5 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

10. Проверьте числа −3/2 и 2 для уравнения (−2/3)x² + (1/3)x + 2 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

11. Проверьте числа −1/2 и 1/2 для уравнения (5/8)x² − (25/16)x − 15/16 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

12. Проверьте числа 2/3 и 3 для уравнения (−1/4)x² + (11/12)x − 1/2 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

13. Проверьте числа −2/3 и −3/2 для уравнения (7/6)x² − (35/36)x − 7/6 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

14. Проверьте числа 7 и 1/3 для уравнения (−3/7)x² + (20/7)x + 1 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

15. Проверьте числа −5 и 3/4 для уравнения (4/9)x² + (17/9)x − 5/3 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

16. Проверьте числа −1/4 и 1/4 для уравнения (−5/3)x² − (35/12)x + 5/6 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

Уровень III — несколько шагов и полная аргументация

Для задач 17–24 сначала умножьте равенство на общий знаменатель коэффициентов, чтобы получить удобную модель, но окончательное заключение делайте по исходному уравнению. Сравните оба способа; ответ по преобразованной форме не отменяет проверку.

17. Проверьте числа 3/2 и −7/2 для уравнения (2/7)x² + (4/7)x − 3/2 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

18. Проверьте числа 4 и −5/4 для уравнения (−4/5)x² + (11/5)x + 4 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

19. Проверьте числа 1/3 и 2/3 для уравнения (3/8)x² − (25/8)x + 1 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

20. Проверьте числа −9 и −2/7 для уравнения (−7/9)x² − (61/9)x + 2 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

21. Проверьте числа −3/5 и 3/5 для уравнения (5/12)x² − (19/4)x − 3 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

22. Проверьте числа 11/2 и 4 для уравнения (−2/11)x² + (3/11)x + 4 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

23. Проверьте числа −10/9 и 5 для уравнения (9/10)x² − (7/2)x − 5 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

24. Проверьте числа 5/3 и 3/5 для уравнения (−3/5)x² − (1/2)x + 5/2 = 0. Не ограничивайтесь сравнением суммы и произведения корней.

Ключ с точными значениями подстановок

В записи P(t) — значение левой части исходного уравнения при x = t. Если P(t) ≠ 0, тождество не получается, даже если другой кандидат этой же строки верен.

1. P(2) = 0 (подходит); P(7) = 5/2 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 2 и 6.

2. P(−3) = 0 (подходит); P(0) = 3 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −3 и 3.

3. P(1) = 0 (подходит); P(5) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: 1 и 5.

4. P(−3) = 0 (подходит); P(−2) = 8/5 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 2 и −3.

5. P(4) = 0 (подходит); P(6) = 28/3 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −1 и 4.

6. P(−2) = 0 (подходит); P(2) = −6 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −2 и 1.

7. P(0) = 0 (подходит); P(1) = 5/4 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −4 и 0.

8. P(5) = 0 (подходит); P(1) = 20/3 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −1 и 5.

9. P(1/2) = 0 (подходит); P(3) = −3/2 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 1/2 и 4.

10. P(−3/2) = 0 (подходит); P(2) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: −3/2 и 2.

11. P(−1/2) = 0 (подходит); P(1/2) = −25/16 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 3 и −1/2.

12. P(2/3) = 0 (подходит); P(3) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: 2/3 и 3.

13. P(−2/3) = 0 (подходит); P(−3/2) = 35/12 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −2/3 и 3/2.

14. P(7) = 0 (подходит); P(1/3) = 40/21 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −1/3 и 7.

15. P(−5) = 0 (подходит); P(3/4) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: 3/4 и −5.

16. P(−1/4) = 35/24 (не подходит); P(1/4) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: −2 и 1/4.

17. P(3/2) = 0 (подходит); P(−7/2) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: −7/2 и 3/2.

18. P(4) = 0 (подходит); P(−5/4) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: −5/4 и 4.

19. P(1/3) = 0 (подходит); P(2/3) = −11/12 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 1/3 и 8.

20. P(−9) = 0 (подходит); P(−2/7) = 244/63 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −9 и 2/7.

21. P(−3/5) = 0 (подходит); P(3/5) = −57/10 (не подходит). Верные корни самого уравнения: −3/5 и 12.

22. P(11/2) = 0 (подходит); P(4) = 24/11 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 11/2 и −4.

23. P(−10/9) = 0 (подходит); P(5) = 0 (подходит). Верные корни самого уравнения: −10/9 и 5.

24. P(5/3) = 0 (подходит); P(3/5) = 248/125 (не подходит). Верные корни самого уравнения: 5/3 и −5/2.

Разбор углублённых заданий 17–24

Покажите вычисления не только для угаданного верного числа, но и для ложного, если оно было в паре. Приведённые равенства пригодны для проверки учителем по этапам.

Задание 17. Для первого числа: (2/7)·(3/2)² = 9/14; линейный член (4/7)·(3/2) = 6/7; после прибавления свободного члена −3/2 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен 7/2, линейный — −2, итог 7/2 + −2 + −3/2 = 0. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе удовлетворяет.

Задание 18. Для первого числа: (−4/5)·(4)² = −64/5; линейный член (11/5)·(4) = 44/5; после прибавления свободного члена 4 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен −5/4, линейный — −11/4, итог −5/4 + −11/4 + 4 = 0. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе удовлетворяет.

Задание 19. Для первого числа: (3/8)·(1/3)² = 1/24; линейный член (−25/8)·(1/3) = −25/24; после прибавления свободного члена 1 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен 1/6, линейный — −25/12, итог 1/6 + −25/12 + 1 = −11/12. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе не удовлетворяет.

Задание 20. Для первого числа: (−7/9)·(−9)² = −63; линейный член (−61/9)·(−9) = 61; после прибавления свободного члена 2 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен −4/63, линейный — 122/63, итог −4/63 + 122/63 + 2 = 244/63. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе не удовлетворяет.

Задание 21. Для первого числа: (5/12)·(−3/5)² = 3/20; линейный член (−19/4)·(−3/5) = 57/20; после прибавления свободного члена −3 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен 3/20, линейный — −57/20, итог 3/20 + −57/20 + −3 = −57/10. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе не удовлетворяет.

Задание 22. Для первого числа: (−2/11)·(11/2)² = −11/2; линейный член (3/11)·(11/2) = 3/2; после прибавления свободного члена 4 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен −32/11, линейный — 12/11, итог −32/11 + 12/11 + 4 = 24/11. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе не удовлетворяет.

Задание 23. Для первого числа: (9/10)·(−10/9)² = 10/9; линейный член (−7/2)·(−10/9) = 35/9; после прибавления свободного члена −5 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен 45/2, линейный — −35/2, итог 45/2 + −35/2 + −5 = 0. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе удовлетворяет.

Задание 24. Для первого числа: (−3/5)·(5/3)² = −5/3; линейный член (−1/2)·(5/3) = −5/6; после прибавления свободного члена 5/2 получаем 0. Для второго числа квадратный член равен −27/125, линейный — −3/10, итог −27/125 + −3/10 + 5/2 = 248/125. Следовательно, первое число удовлетворяет уравнению, а второе не удовлетворяет.

Самопроверка: что считать доказательством

Убедительная проверка состоит из точной подстановки и равенства нулю. Совпадение с ответом соседа или правильное значение дискриминанта само по себе ещё не проверяет запись корня.

Обратите внимание на уравнения с отрицательным старшим коэффициентом: знак минус сохраняется и перед дробью, и при умножении. Если вы умножили всё уравнение на ненулевое число, множество корней не меняется; деление на выражение с x без исследования нулевого случая делать нельзя.

Оценивание: 1 балл за каждую пару с двумя верными заключениями и точными подстановками, всего 24. Если в паре сделана лишь половина проверки, учитель может дать 0,5 балла. Для заданий 17–24 дополнительно полезно оценивать ход решения, а не только две отметки «да/нет».