Поиск неверного применения формулы при отрицательном дискриминанте — упражнения разной сложности, 8 класс

Задача диагностики. Найдите неверное применение формулы корней квадратного уравнения при D < 0. Мы рассматриваем действительные числа, как принято в школьном курсе 8 класса. Если D = b² − 4ac отрицателен, действительных корней нет: нельзя извлечь действительный квадратный корень из отрицательного числа.

Два варианта специально построены по-разному. Вариант А — короткая самостоятельная проверка знаков и вычислений. Вариант Б — редакторская проверка чужого решения: нужно назвать ошибку, проверить D и написать корректный вывод. Обменяйтесь вариантами и проверьте друг друга по ключу ниже.

Вариант А — вычислите, а не угадывайте

Для каждого уравнения выделите a, b, c; вычислите b², 4ac и D; объясните, почему формула не даёт действительных корней. Здесь нет задания на комплексные числа.

А1. (1)x² + (2)x + 5 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А2. (2)x² − (4)x + 7 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А3. (−1)x² + (6)x − 11 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А4. (3)x² + (6)x + 8 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А5. (1)x² − (8)x + 17 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А6. (4)x² + (4)x + 5 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А7. (−2)x² − (2)x − 3 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

А8. (5)x² − (10)x + 9 = 0. Найдите знак дискриминанта и оцените фразу «можно получить два действительных корня по формуле».

Вариант Б — найдите ошибочную строку

В каждом случае ученик сделал один неправильный вывод. Укажите, что именно нельзя делать с отрицательным D, затем запишите результат решения в действительных числах.

Б1. Для (1)x² + (6)x + 10 = 0 ученик написал: «√(−4) = −2, поэтому можно подставить −2 в формулу корней». Исправьте его работу.

Б2. Для (2)x² + (2)x + 3 = 0 ученик написал: «Дискриминант всегда равен b² + 4ac; здесь получим положительное число». Исправьте его работу.

Б3. Для (3)x² − (12)x + 13 = 0 ученик написал: «Если D < 0, оба корня совпадают и равны −b/(2a)». Исправьте его работу.

Б4. Для (1)x² − (2)x + 4 = 0 ученик написал: «Возьмём модуль дискриминанта и получим два действительных корня». Исправьте его работу.

Б5. Для (−1)x² − (4)x − 8 = 0 ученик написал: «При a < 0 дискриминант отрицательным быть не может». Исправьте его работу.

Б6. Для (4)x² − (8)x + 7 = 0 ученик написал: «Нет корней — значит, единственный корень равен нулю». Исправьте его работу.

Б7. Для (1/2)x² + (1)x + 2 = 0 ученик написал: «Можно сразу округлить отрицательный дискриминант до нуля». Исправьте его работу.

Б8. Для (−3)x² + (6)x − 5 = 0 ученик написал: «Если в формуле под корнем отрицательное число, возьмём от него квадратный корень как от положительного». Исправьте его работу.

Взаимная проверка: правильные вычисления

Сверяйте не только последнее слово «нет корней», но и три числа: b², 4ac, D. При отрицательном старшем коэффициенте знак произведения 4ac нужно определять отдельно.

А1. a = 1, b = 2, c = 5; b² = 4, 4ac = 20, D = 4 − (20) = −16. Поскольку −16 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А2. a = 2, b = −4, c = 7; b² = 16, 4ac = 56, D = 16 − (56) = −40. Поскольку −40 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А3. a = −1, b = 6, c = −11; b² = 36, 4ac = 44, D = 36 − (44) = −8. Поскольку −8 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А4. a = 3, b = 6, c = 8; b² = 36, 4ac = 96, D = 36 − (96) = −60. Поскольку −60 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А5. a = 1, b = −8, c = 17; b² = 64, 4ac = 68, D = 64 − (68) = −4. Поскольку −4 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А6. a = 4, b = 4, c = 5; b² = 16, 4ac = 80, D = 16 − (80) = −64. Поскольку −64 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А7. a = −2, b = −2, c = −3; b² = 4, 4ac = 24, D = 4 − (24) = −20. Поскольку −20 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

А8. a = 5, b = −10, c = 9; b² = 100, 4ac = 180, D = 100 − (180) = −80. Поскольку −80 < 0, действительных корней нет; фраза о двух действительных корнях ошибочна.

Б1. b² = 36, 4ac = 40, D = −4 < 0. Число −2 не является квадратным корнем из −4: (−2)² = 4, а не −4. Квадратный корень из −4 в действительных числах не определён. Верный вывод: действительных корней нет.

Б2. b² = 4, 4ac = 24, D = −20 < 0. Верная формула D = b² − 4ac. Подмена «минуса» на «плюс» меняет исходную задачу и приводит к ложным корням. Верный вывод: действительных корней нет.

Б3. b² = 144, 4ac = 156, D = −12 < 0. Равенство корней имеет место при D = 0, не при D < 0. При отрицательном D выражение √D не является действительным числом. Верный вывод: действительных корней нет.

Б4. b² = 4, 4ac = 16, D = −12 < 0. Заменять D на |D| нельзя: полученные числа не обязаны обращать исходное уравнение в ноль. Верный вывод: действительных корней нет.

Б5. b² = 16, 4ac = 32, D = −16 < 0. Знак a сам по себе не определяет знак D: всё зависит от b² − 4ac. Отрицательные значения a и c допустимы. Верный вывод: действительных корней нет.

Б6. b² = 64, 4ac = 112, D = −48 < 0. Фразы «корней нет» и «корень равен нулю» различны. Для x = 0 левая часть была бы c, здесь c ≠ 0. Верный вывод: действительных корней нет.

Б7. b² = 1, 4ac = 4, D = −3 < 0. Знак D — качественное свойство, его нельзя уничтожить округлением. Даже малое отрицательное D означает отсутствие действительных корней. Верный вывод: действительных корней нет.

Б8. b² = 36, 4ac = 60, D = −24 < 0. Заменять √D на √|D| без основания нельзя. Так мы решали бы другое уравнение, а не данное. Верный вывод: действительных корней нет.

Разбор двух спорных случаев

Почему отрицательный коэффициент при x² ничего не гарантирует? Посмотрите на А3: a = −1, b = 6, c = −11. Произведение ac положительно, поэтому 4ac = 44; число b² = 36 меньше 44, и D = −8. Знак a без расчёта здесь бесполезен.

Почему нельзя считать x = 0 «нулевым числом корней»? Для Б6 при x = 0 получается 7, а не 0. Утверждение «решений нет» означает отсутствие допустимых действительных значений x. Оно не предписывает подставлять ноль.

При проверке спорного ответа подставьте найденное число в исходную левую часть. Если оно не даёт ноль, это не корень. Но при D < 0 достаточно точного доказательства через дискриминант — перебирать все действительные числа не нужно.

Критерий проверки

Всего 16 заданий — 16 баллов: по одному за правильный расчёт D и исправленный вывод, если учитель оценивает только конечный результат. Для развернутой проверки удобно выделить по одному дополнительному баллу за объяснение ошибки в каждом пункте варианта Б.

Одна и та же заключительная фраза «корней нет» в этих задачах правильна, но причины ошибочных действий различны: неверный знак в формуле, модуль, ложное извлечение корня, округление или неверная трактовка отсутствия корней. Их важно научиться различать.