Поиск неверного применения формулы при нулевом свободном члене: задания с разбором, 8 класс

Подозрительный тезис: «Если свободный член c = 0, можно сократить квадратное уравнение на x и решить оставшееся линейное». Это утверждение неверно без отдельного рассмотрения x = 0. Сокращение на переменную возможно лишь при доказанном x ≠ 0, а ноль здесь как раз обязательно является корнем.

Докажем правило. Для ax² + bx + 0 = 0 при a ≠ 0 имеем x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Следовательно, x = 0 или ax + b = 0, то есть x = −b/a. Когда b = 0, значения совпадают.

Формула дискриминанта также не противоречит разложению: D = b² − 4a·0 = b² ≥ 0. При b ≠ 0 есть два различных действительных корня, а при b = 0 — один двукратный. Отличайте двукратность корня от числа различных значений x.

Почему деление на x опасно

Равенство x(ax + b) = 0 не позволяет безоговорочно написать ax + b = 0: так выполняется деление на x, которое при x = 0 не определено. Например, 2x² − 10x = 0 имеет корни 0 и 5. Ошибочное сокращение оставит только 5.

Правильное доказательство состоит из двух частей: сначала проверяем нулевой корень подстановкой, затем решаем второй множитель. Для задачи с параметром отдельно указываем значения, при которых старший коэффициент перестаёт быть ненулевым.

Задачи на аргументацию

Для каждой строки укажите подозрительный шаг, обоснуйте корректный способ и проверьте полный набор корней. Задания 10 и 11 требуют исследования параметра — это не обычное вычисление по образцу.

1. Рассмотрите уравнение 2x² − 10x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

2. Рассмотрите уравнение −3x² + 9x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

3. Рассмотрите уравнение (1/2)x² − (3/2)x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

4. Рассмотрите уравнение x² = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

5. Рассмотрите уравнение 5x² + 0x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

6. Рассмотрите уравнение −4x² − 8x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

7. Рассмотрите уравнение x² − x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

8. Рассмотрите уравнение 6x² + 15x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

9. Рассмотрите уравнение −(2/3)x² + (5/3)x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

10. Рассмотрите уравнение x² + tx = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

11. Рассмотрите уравнение (t − 2)x² + 4x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

12. Рассмотрите уравнение 7x² − 14x = 0. Исследуйте утверждение «сократим на x; все корни найдены». Представьте разложение на множители, перечислите решения и укажите, допустима ли отмена множителя x.

Доказательные ответы

1. 2x² − 10x = 0 ⇔ 2x(x − 5) = 0; следовательно, x = 0 и 5. Ошибочно делить обе части на x и оставлять только x = 5. При x = 0 деление недопустимо; проверка даёт 0.

2. −3x² + 9x = 0 ⇔ −3x(x − 3) = 0; следовательно, x = 0 и 3. Даже если перед скобками минус, нулевое произведение равно нулю при x = 0 или x = 3.

3. (1/2)x² − (3/2)x = 0 ⇔ (1/2)x(x − 3) = 0; следовательно, x = 0 и 3. Дробь 1/2 ненулевая. Умножение уравнения на 2 допустимо, а сокращение на x — только с отдельной проверкой x = 0.

4. x² = 0 ⇔ x·x = 0; следовательно, x = только 0 (двукратный). При b = 0 два формальных корня совпадают: x = 0. Нельзя говорить о двух разных решениях.

5. 5x² + 0x = 0 ⇔ 5x·x = 0; следовательно, x = только 0 (двукратный). Нулевой коэффициент при x не означает отсутствия уравнения: a = 5 ≠ 0; единственное числовое решение x = 0.

6. −4x² − 8x = 0 ⇔ −4x(x + 2) = 0; следовательно, x = 0 и −2. При переносе второго члена знак часто теряют. Подставьте −2: −16 + 16 = 0.

7. x² − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0; следовательно, x = 0 и 1. Деление на x исключило бы нулевой корень. По формуле дискриминанта D = 1 оба корня тоже находятся.

8. 6x² + 15x = 0 ⇔ 3x(2x + 5) = 0; следовательно, x = 0 и −5/2. Из 2x + 5 = 0 следует x = −5/2. Плюс перед 15x не означает положительность ненулевого корня.

9. −(2/3)x² + (5/3)x = 0 ⇔ (1/3)x(−2x + 5) = 0; следовательно, x = 0 и 5/2. Нельзя игнорировать знаменатели. После умножения на 3 получаем −2x² + 5x = 0, корни сохраняются.

10. x² + tx = 0 ⇔ x(x + t) = 0; следовательно, x = 0 и −t. При любом действительном t решение x = 0 верно; при t = 0 оба корня совпадают, при t ≠ 0 они различны.

11. (t − 2)x² + 4x = 0 ⇔ x((t − 2)x + 4) = 0; следовательно, x = 0 и −4/(t − 2) при t ≠ 2; при t = 2 только 0. При t = 2 старший коэффициент равен нулю: исходное равенство становится линейным 4x = 0. Формула с делением на t − 2 не применима.

12. 7x² − 14x = 0 ⇔ 7x(x − 2) = 0; следовательно, x = 0 и 2. Проверка формулой: D = (−14)² = 196, x = (14 ± 14)/14, то есть 0 и 2. Деление на x ошибочно убрало бы первый корень.

Разбор особых случаев: что легко упустить

Нулевой свободный член не означает нулевой дискриминант. При c = 0 величина D = b². Например, для −4x² − 8x = 0 дискриминант равен 64, а корни 0 и −2 различны. При x² = 0 получаем D = 0 и двукратный корень 0.

Нулевой свободный член не даёт права делить на x. Во всех 12 упражнениях ноль обращает левую часть в ноль, даже если второй корень задан дробью или параметром. Если начать решение с предположения x ≠ 0, потом необходимо отдельно вернуть и проверить исключённое x = 0.

Не каждое уравнение остаётся квадратным. В задании 11 при t = 2 коэффициент a = t − 2 обнуляется. Исходное уравнение перестаёт быть квадратным, но x = 0 остаётся решением линейного равенства 4x = 0. Делить на t − 2 без условия нельзя.

При b = 0 формула −b/a тоже даёт x = 0, поэтому второй раз записывать ноль как новое, отличное число неправильно. В списке ответов можно указать «0 — двукратный корень», если вопрос касается кратности.

Алгоритм самопроверки доказательства

• Записали a и убедились, что a ≠ 0, если применяете формулу для квадратного уравнения.
• Вынесли общий множитель x и не делили на x без проверки случая x = 0.
• Исследовали второй множитель ax + b; при b = 0 указали совпадение корней.
• Каждое записанное значение подставили в исходное уравнение; для параметра выделили запрещённое значение знаменателя.

Оценивание: в задачах 1–9 и 12 по 1 баллу за все корни и обоснование, в задачах 10–11 по 2 балла за исследование частных случаев. Итого 14 баллов. Краткий ответ без объяснения не считается полным доказательством.