Поиск неверного применения формулы при дробном старшем коэффициенте — рабочий лист для 8 класса

Маршрут работы. Это рабочий лист для восьмого класса: не просто решить квадратное уравнение, а найти неверное применение формулы корней, когда коэффициент при x² записан дробью. Начните с лёгких наблюдений, затем выбирайте «верно или ошибка», исправляйте чужие решения и переходите к итоговой проверке.

Удобный приём — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех коэффициентов. При умножении на одно и то же ненулевое число множество корней не изменится; при этом исходные значения a, b и c остаются теми, что стояли до преобразования.

В конце каждого пункта полезно выполнить подстановку в исходное равенство. Особенно внимательно обрабатывайте минусы, дроби и нулевой дискриминант. Ответы приведены после всего маршрута, чтобы лист можно было распечатать для работы без подсказок.

Ступень 1. Лёгкий старт — четыре наблюдения

Отметьте действие, которое выполнено верно, и перепишите сомнительную строку. Пока не используйте длинную формулу корней: проверяйте коэффициенты и эквивалентность уравнений.

1. (1/2)x² − (3)x + 4 = 0. Ученик после умножения на 2 записал x² − 3x + 8 = 0. Верна ли вся строка?

2. (−1/3)x² + (2)x − 3 = 0. Ученик умножил на −3 и получил x² − 6x + 9 = 0. Проверьте знак всех членов.

3. (3/4)x² − (3)x + 3 = 0. «После умножения на 4 старший коэффициент равен 3». Верно ли это?

4. (2/5)x² − (6/5)x + 4/5 = 0. Ученик предлагает после умножения на 5 уравнение 2x² − 6x + 4 = 0.

Ступень 2. Развилка «верно или ошибка?»

В пунктах 5–10 выберите одно из двух заключений: верно или ошибка. Для «ошибка» приведите контрпример или восстановите потерянный коэффициент.

5. (1/2)x² − (5/2)x + 3 = 0. Верно ли, что в формуле дискриминанта следует взять a = 2?

6. (−2/3)x² + (2/3)x + 4/3 = 0. Заявлены корни −1 и 2. Проверьте, не потерялся ли минус при очистке знаменателей.

7. (3/2)x² + (3)x + 3/2 = 0. «Дискриминант исходного уравнения равен нулю».

8. (−1/4)x² − (1)x − 1 = 0. «Корень уравнения равен 2».

9. (2/3)x² + (1/3)x − 1 = 0. «Корни равны 1 и −3».

10. (−3/5)x² + (6/5)x − 3/5 = 0. «Дискриминант равен нулю, значит, корень 1 двукратный».

Ступень 3. Исправьте запись ученика

В пунктах 11–15 ошибка уже появилась в вычислениях. Перепишите ошибочную строку, доведите уравнение до ответа, при D < 0 не выдумывайте действительные корни.

11. (1/2)x² − (2)x + 3/2 = 0. «После умножения на 2: x² − 2x + 3 = 0».

12. (−1/2)x² + (3/2)x + 2 = 0. «Корень только 4».

13. (3/5)x² − (6/5)x − 9/5 = 0. «Исходный старший коэффициент 3».

14. (−1/6)x² − (1/2)x + 2/3 = 0. «Корни 1 и 4».

15. (1/4)x² + (1/2)x + 3/4 = 0. «Дискриминант отрицателен, но возьмём √8 как положительное число и продолжим».

Финиш. Самостоятельная итоговая проверка

В последних трёх заданиях готовой записи ученика нет. Выберите удобный ненулевой множитель, решите уравнение, проверьте найденные значения в исходной форме.

16. (5/6)x² − (5/3)x + 5/6 = 0. Вычислите все корни после освобождения от знаменателей и сверьте каждый с исходным уравнением.

17. (−2/5)x² − (6/5)x + 8/5 = 0. Определите корни и укажите, почему отрицательный a не меняет алгоритм проверки.

18. (3/8)x² − (3/8)x − 9/4 = 0. Найдите корни, не перепутав деление на дробный коэффициент с умножением на неё.

Ключ и корректировки по всем ступеням

1. После умножения на 2 получается x² − 6x + 8 = 0; корни 2 и 4. Исходный дискриминант: D = (−3)² − 4·(1/2)·(4) = 1. Он положителен: действительные корни различны.

2. Строка верна: x² − 6x + 9 = (x − 3)²; корень 3 двукратный. Исходный дискриминант: D = (2)² − 4·(−1/3)·(−3) = 0. Он равен нулю: корень следует считать двукратным.

3. Верно: 3x² − 12x + 12 = 0; после деления на 3 получается (x − 2)² = 0. Исходный дискриминант: D = (−3)² − 4·(3/4)·(3) = 0. Он равен нулю: корень следует считать двукратным.

4. Это верно. Делим ещё на 2: x² − 3x + 2 = 0, корни 1 и 2. Исходный дискриминант: D = (−6/5)² − 4·(2/5)·(4/5) = 4/25. Он положителен: действительные корни различны.

5. Нет. В исходном уравнении a = 1/2. Можно умножить на 2: x² − 5x + 6 = 0, корни 2 и 3. Исходный дискриминант: D = (−5/2)² − 4·(1/2)·(3) = 1/4. Он положителен: действительные корни различны.

6. Верно: умножение на −3 даёт 2x² − 2x − 4 = 0, затем (x − 2)(x + 1) = 0. Исходный дискриминант: D = (2/3)² − 4·(−2/3)·(4/3) = 4. Он положителен: действительные корни различны.

7. Верно: D = 3² − 4·(3/2)·(3/2) = 0; единственный различный корень −1. Исходный дискриминант: D = (3)² − 4·(3/2)·(3/2) = 0. Он равен нулю: корень следует считать двукратным.

8. Ошибка знака: после умножения на −4 получаем x² + 4x + 4 = 0; корень −2. Исходный дискриминант: D = (−1)² − 4·(−1/4)·(−1) = 0. Он равен нулю: корень следует считать двукратным.

9. Ошибка во втором числе. После умножения на 3: 2x² + x − 3 = 0; корни 1 и −3/2. Исходный дискриминант: D = (1/3)² − 4·(2/3)·(−1) = 25/9. Он положителен: действительные корни различны.

10. Верно: умножим на −5/3 и получим x² − 2x + 1 = 0; корень 1 двукратный. Исходный дискриминант: D = (6/5)² − 4·(−3/5)·(−3/5) = 0. Он равен нулю: корень следует считать двукратным.

11. Исправление: x² − 4x + 3 = 0; корни 1 и 3. Исходный дискриминант: D = (−2)² − 4·(1/2)·(3/2) = 1. Он положителен: действительные корни различны.

12. Ученик пропустил второй: −2 умножить на исходное равенство даёт x² − 3x − 4 = 0, корни 4 и −1. Исходный дискриминант: D = (3/2)² − 4·(−1/2)·(2) = 25/4. Он положителен: действительные корни различны.

13. Ошибка: a = 3/5, а не 3. Умножение на 5/3 даёт x² − 2x − 3 = 0; корни 3 и −1. Исходный дискриминант: D = (−6/5)² − 4·(3/5)·(−9/5) = 144/25. Он положителен: действительные корни различны.

14. После умножения на −6: x² + 3x − 4 = 0; корни 1 и −4. Знак у второго корня потерян. Исходный дискриминант: D = (−1/2)² − 4·(−1/6)·(2/3) = 25/36. Он положителен: действительные корни различны.

15. Умножение на 4 даёт x² + 2x + 3 = 0, D = 4 − 12 = −8. Действительных корней нет. Исходный дискриминант: D = (1/2)² − 4·(1/4)·(3/4) = −1/2. Он отрицателен: действительных корней нет.

16. После умножения на 6/5: x² − 2x + 1 = 0, x = 1 — двукратный корень. Исходный дискриминант: D = (−5/3)² − 4·(5/6)·(5/6) = 0. Он равен нулю: корень следует считать двукратным.

17. После умножения на −5/2: x² + 3x − 4 = 0. Корни 1 и −4; множитель ненулевой. Исходный дискриминант: D = (−6/5)² − 4·(−2/5)·(8/5) = 4. Он положителен: действительные корни различны.

18. После умножения на 8/3: x² − x − 6 = 0, корни 3 и −2. Исходный дискриминант: D = (−3/8)² − 4·(3/8)·(−9/4) = 225/64. Он положителен: действительные корни различны.

Три типовых сбоя — и как их исправить

Сбой «из дроби исчезла двойка». Когда исходное a равно 1/2, нельзя подставлять в D число 2. Оно станет коэффициентом только после специального преобразования уравнения на ненулевой множитель; тогда вместе с a изменятся b и c.

Сбой «умножили только одно слагаемое». Очистка знаменателей всегда применяется ко всем слагаемым. Например, из (1/2)x² − 2x + 3/2 = 0 получается x² − 4x + 3 = 0. Иначе вы решаете другое уравнение.

Сбой «отрицательный D исправим вручную». При D < 0 в действительных числах решений нет; замена D на |D| или округление отрицательного значения не допускаются. Для отличия действительных решений от комплексных не нужно выходить за программу 8 класса.

Рекомендации по результату

• Если ошибки в заданиях 1–4, повторите умножение дробей и действие общего знаменателя.
• Если затруднения в заданиях 5–10, выписывайте a, b, c в три отдельные строки перед вычислением D.
• Если неверны 11–15, проверяйте каждый переход на эквивалентность и записывайте знак второго корня.
• Если ошибки в 16–18, решите повторно без подсказки и проверьте оба числа в исходном равенстве.

Оценивание: 18 заданий — максимум 18 баллов. Один балл ставится за точный вывод и корректировку или проверку; промежуточные вычисления желательно сохранять. Не считайте одно и то же ошибочное действие «успехом» лишь потому, что случайно совпал последний ответ.