Поиск неверного применения формулы при условии на сумму корней: самостоятельная работа, 8 класс

Самостоятельная работа: 12 коротких вопросов. Тема теста — поиск ошибок при применении формулы корней и теоремы Виета, когда отдельно задана сумма корней. Не путайте необходимое условие x₁ + x₂ = −b/a с проверкой каждого числа в исходном уравнении.

Выполняйте задания по порядку. Есть вопросы «да/нет», исправление ошибки, выбор второго корня, пример с параметром и проверка существования действительных корней. Калькулятор не требуется. На выполнение можно отвести 15–20 минут.

Вопросы мини-теста

1. Выбор знака. Для 2x² − 10x + 12 = 0 ученик назвал сумму корней −5. Верно ли это?

2. Проверка пары. Для x² − 7x + 10 = 0 записаны 2 и 4. В чём ошибка?

3. Отрицательный a. Для −x² + 6x − 8 = 0 предложена сумма −6. Исправьте.

4. Найдите оба корня уравнения 3x² + 9x + 6 = 0 и проверьте сумму.

5. Поиск недостающего числа. У x² − 8x + 15 = 0 первый корень 3. Ученик пишет второй корень 4. Кто прав?

6. Равенство сумм. Для x² − 6x + 7 = 0 предлагается пара 3 и 3. Сумма совпала. Можно ли принять пару?

7. Логическая ловушка. У x² − 4x + 8 = 0 по Виету формальная сумма равна 4. Утверждают: «есть два действительных корня».

8. Дробный коэффициент. Проверить 2 и 4 для (1/2)x² − 3x + 4 = 0 и сумму 6.

9. Контрпример. Для x² − 12x + 35 = 0 ученик выбрал 6 и 6. Почему одной суммы мало?

10. Параметр. Для x² − (k + 2)x + 9 = 0 известно, что сумма корней 8. Найдите k.

11. Двукратный корень. Верно ли, что у x² − 10x + 25 = 0 сумма двух корней равна 10?

12. Проверка условия существования. Для 2x² − 4x + 7 = 0 по Виету сумма равна 2. Можно ли назвать два действительных корня?

Баллы и критерии

Каждый правильный ответ с одним кратким объяснением — 1 балл; всего 12. 11–12 баллов — уверенное владение темой; 8–10 — отдельные неточности; 5–7 — повторите Виета и подстановку; 0–4 — разберите примеры с учителем. Баллы не начисляются за случайно угаданный вариант без объяснения.

Разбор и ответы

1. Нет. По Виету x₁ + x₂ = −b/a = 10/2 = 5. Корни 2 и 3 действительно дают 5.

2. Сумма 2 + 4 = 6, а должна быть 7. Верные числа 2 и 5: оба обращают выражение в ноль.

3. a = −1, b = 6, поэтому −b/a = −6/(−1) = 6. Корни 2 и 4, их сумма 6.

4. Делим на 3: x² + 3x + 2 = 0, корни −1 и −2, сумма −3 = −9/3.

5. Второй корень равен 8 − 3 = 5. Проверка: 3·5 = 15; при x = 4 левая часть 16 − 32 + 15 = −1.

6. Нет. Хотя сумма 6, произведение 9 не равно 7. Подстановка x = 3 даёт 9 − 18 + 7 = −2.

7. Неверно: D = 16 − 32 = −16. Действительных корней нет; формула суммы не доказывает их существования.

8. Для 2: 2 − 6 + 4 = 0; для 4: 8 − 12 + 4 = 0. Сумма 2 + 4 = 6 = −(−3)/(1/2).

9. 6 + 6 = 12, но 6·6 = 36 ≠ 35. Правильные корни 5 и 7; они дают сумму 12 и произведение 35.

10. По Виету k + 2 = 8, значит, k = 6. Тогда D = 64 − 36 = 28 > 0, реальные корни есть.

11. Да. (x − 5)² = 0; корень 5 двукратный, и с учётом кратности 5 + 5 = 10.

12. Нет. D = (−4)² − 4·2·7 = 16 − 56 = −40. Сумма −b/a = 2 — формальное соотношение; действительных корней нет.

Итоговая проверка

Три вопроса для себя: правильно ли вы определили a и b; проверили ли не только сумму, но и подстановку или произведение; учли ли знак D перед заявлением о действительных корнях?

Если ответы расходятся, восстановите формулу D = b² − 4ac и исследуйте исходное уравнение. Для двойного корня считайте кратность, а при D < 0 не записывайте несуществующие действительные значения.