Восстановление неизвестного угла для прямоугольника с диагональю — самостоятельная работа, 8 класс

Ситуация. В кабинете технологии собраны шесть прямоугольных макетов. Обозначьте вершины любого из них A, B, C, D по порядку; AB — нижняя сторона, BC — правая, AC и BD — диагонали, O — точка их пересечения. Угольником подтверждено, что ∠ABC = 90°. Транспортиром измерили острый угол ∠BAC между AB и AC; данные приведены в таблице.

Учебная цель — восстановить остальные углы, а не искать длины сторон. В прямоугольном треугольнике ABC угол ∠ACB равен 90° − θ, где θ = ∠BAC. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам: OA = OB = OC = OD. Поэтому треугольник AOB равнобедренный, его углы при A и B равны θ, а ∠AOB = 180° − 2θ. Смежный угол ∠BOC = 2θ. Это углы между лучами; не путайте с меньшим углом между двумя прямыми.

Исходные данные

Серия заданий с исходными измерениями

Используйте только данные своего макета. Значения θ считаются заданными точно — отклонения транспортира не учитываются. Для каждой пары вопросов составьте небольшую схему с подписанными лучами.

1. Для макета А найдите ∠ACB и ∠CAD. Как убедиться, что при вершине A два угла действительно образуют прямой?

2. Для макета А вычислите ∠AOB и ∠BOC. Проверьте их сумму.

3. Для макета Б восстановите ∠ABD и ∠DBC. Какие два треугольника вы использовали?

4. Для макета Б найдите ∠AOB. Ученик написал 2θ вместо 180° − 2θ. Чему должен равняться его ответ?

5. Для макета В определите ∠ACB и два угла между диагоналями при O: ∠AOB и ∠BOC.

6. Для макета В объясните, почему ∠DAC не равен углу ∠BAC; вычислите оба.

7. Для макета Г найдите величину ∠BOC и проверьте её, применив смежные углы при пересечении диагоналей.

8. Для макета Г восстановите ∠ABO и ∠BAO и проверьте сумму углов треугольника AOB.

9. Для макета Д найдите ∠AOB и ∠BOC. Какой из них острый?

10. Для макета Д вычислите ∠ACB и обоснуйте, почему AB уже не длиннее BC.

11. Для макета Е найдите ∠ABD, ∠DBC и ∠AOB, избегая смешения двух разных углов при B.

12. Для макета Е определите меньший угол между прямыми AC и BD. Равен ли он автоматически ∠AOB?

Разбор каждого вопроса

1. θ = 16°. Из прямоугольного треугольника ABC ∠ACB = 90 − 16 = 74°. Так как ∠BAD = 90°, диагональ AC делит его на ∠BAC = 16° и ∠CAD = 74°; сумма 90°.

2. ∠AOB = 180 − 2·16 = 148°, ∠BOC = 2·16 = 32°. Углы смежные, поэтому 148 + 32 = 180°.

3. ∠ABD = θ = 27°: в равнобедренном AOB угол ABO равен углу BAO. ∠DBC = 90 − 27 = 63° по прямому углу ABC. Используются треугольник AOB и угол прямоугольника B.

4. ∠AOB = 180 − 2·27 = 126°. Число 2θ = 54° — это соседний ∠BOC, а не ∠AOB. Проверка: 126 + 54 = 180°.

5. ∠ACB = 90 − 33 = 57°. ∠AOB = 180 − 66 = 114°; ∠BOC = 66°. Получены два типа углов: угол с диагональю у вершины и угол при пересечении диагоналей.

6. ∠BAC = 33°, но ∠DAC = 90 − 33 = 57°: диагональ разбивает прямой угол A на два дополнительных, не обязательно равных. Они совпали бы только в квадрате.

7. ∠BOC = 2·38 = 76°. Значит, ∠AOB = 180 − 76 = 104°. Четыре угла вокруг O попарно вертикальные, а соседние составляют 180°.

8. ∠ABO = ∠BAO = 38° благодаря равенству OA и OB (половины равных диагоналей). ∠AOB = 180 − 76 = 104°. Итого 38 + 38 + 104 = 180°.

9. При θ = 49° угол ∠AOB = 180 − 98 = 82°, ∠BOC = 98°. Первый острый, второй тупой. Их положения меняются при переходе через θ = 45°.

10. ∠ACB = 90 − 49 = 41°. Поскольку θ = arctg(BC/AB) > 45°, имеем BC > AB; вертикальный макет выше, чем шире. Результат согласуется с формой.

11. ∠ABD = 63°, ∠DBC = 90 − 63 = 27°, ∠AOB = 180 − 126 = 54°. Два угла при B дополняют друг друга до 90°.

12. Угол ∠BOC = 2·63 = 126°, а ∠AOB = 54°. Меньший угол между диагоналями составляет 54°, поэтому здесь он совпадает с ∠AOB; в макетах А–Г это было бы неверно: там ∠AOB тупой.

Как проверить разумность результата

В прямоугольнике все четыре угла по 90°, поэтому любой угол между его стороной и внутренним отрезком к противоположной вершине лежит между 0° и 90°. Угол при пересечении диагоналей тоже должен быть от 0° до 180°. Если вышел отрицательный угол, значит, перепутан порядок вычитания.

При θ = 45° прямоугольник является квадратом: диагонали перпендикулярны. При θ меньше 45° сторона AB больше BC; при θ больше 45° — наоборот. Это независимая проверка графического смысла результата.

Ключевые единицы. Здесь измеряются углы в градусах, а не длины в сантиметрах. Для точного нахождения неизвестного угла из заданного θ длины и площадь не требуются. Формула 180 − 2θ описывает именно ∠AOB, а формула 2θ — ∠BOC.

Оценивание: по одному баллу за правильные оба числовых результата в каждой задаче и один дополнительный за объяснение; всего 24 балла. После исправления ошибки перерисуйте нужный треугольник: чаще всего это позволяет увидеть неправильный луч.

Порядок самостоятельной работы по таблице

Сначала подпишите на каждом прямоугольнике два маленьких треугольника у диагонали AC. Начните с известного угла θ, затем запишите второй острый угол прямоугольного треугольника ABC. Не нужно искать длины диагоналей по теореме Пифагора: в этом комплекте они намеренно не указаны, потому что для углов достаточно свойства прямоугольника и одного измерения. Если учащийся вводит неизвестную длину, попросите его объяснить, почему она необходима для ответа.

После решения первой пары задач проверьте себя без готового ключа. Например, если один угол между лучами диагоналей равен 76°, соседний должен быть 104°, а вертикальный — снова 76°. Это проверка взаимного расположения лучей, которая не зависит от формы конкретного прямоугольника. Для угла при вершине правило другое: диагональ делит прямой угол на θ и 90° − θ, а вовсе не обязательно пополам.

Если при переходе от макета Г к макету Д угол ∠AOB перестал быть тупым, это не ошибка. Он уменьшается с ростом θ: формула 180° − 2θ даёт 104° при θ = 38° и 82° при θ = 49°. При этом второй угол ∠BOC увеличивается. Именно на такой смене часто путают меньший угол между прямыми с указанным по трём буквам ∠AOB. Читайте запись с вершиной O посередине и однозначно указывайте крайние лучи.