Проверка признака параллелограмма для ромба с заданным острым углом — мини-практикум с ответами, 8 класс

Маршрут. В 8 классе важно не только пользоваться формулой углов ромба, но и уметь проверить, доказано ли, что четырёхугольник вообще является параллелограммом. Если дан ромб, он уже параллелограмм; однако в некоторых заданиях приведены только отдельные свойства и слово «ромб» в условии не дано. Не подменяйте доказательство названием фигуры.

Признаки для выпуклого четырёхугольника ABCD: обе пары противоположных сторон параллельны; обе пары противоположных сторон равны; одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна; диагонали делятся точкой пересечения пополам. Также достаточно равенства обоих пар противоположных углов. У ромба при остром ∠A = α имеем ∠C = α, ∠B = ∠D = 180° − α. Перпендикулярности диагоналей самой по себе недостаточно для доказательства параллелограмма.

Ступень 1 — лёгкий старт: читаем углы и признаки

1. В ромбе ∠A = 35°. Найдите ∠C и ∠B. Подтверждает ли равенство противоположных углов признак параллелограмма?

2. В ромбе ∠A = 47°. Назовите два угла при стороне AD и проверьте их сумму.

3. В ромбе ∠A = 61°. Диагонали пересеклись в O. Сравните AO и OC, BO и OD. Какой признак параллелограмма использован?

4. В выпуклом ABCD известно AB = CD = 8 см и AB ∥ CD; дополнительно ∠A = 73°. Достаточно ли данных для параллелограмма?

5. В четырёхугольнике ∠A = 39° и ∠C = 39°, но ∠B = 127°, ∠D = 155°. Можно ли применить признак противоположных углов?

6. У ABCD все стороны равны, ∠A = 79°. Докажите, что это параллелограмм, не используя только слово «ромб».

Ступень 2 — развилка «ошибка или верно?»

В каждом пункте укажите ДА или НЕТ: гарантирует ли утверждение параллелограмм? Если нет — покажите, какого условия недостаёт. Если да — назовите конкретный признак.

7. Для ABCD известно только AC ⟂ BD и ∠A = 43°. Ученик заключил: «Это ромб и параллелограмм».

8. AB = CD и BC = AD; кроме того ∠A = 67°. Ученик заключил, что ABCD — параллелограмм.

9. AB ∥ CD, AD ∥ BC и ∠A = 31°. Ученик определил ∠D = 149°.

10. AB = AD, BC = CD и ∠A = 59°. Ученик считает фигуру ромбом, значит параллелограммом.

11. Точка O такова, что AO = OC, BO = OD. Дополнительно ∠A = 83°. Ученик объявил ABCD параллелограммом.

12. У ABCD равны только диагонали AC = BD и острый ∠A = 53°. Ученик считает доказательство завершённым.

Ступень 3 — исправьте доказательство

В задачах 13–18 данные более похожи на свойства ромба. Укажите, какая часть информации действительно служит признаком параллелограмма, и не заключайте о ромбе по одному острому углу.

13. В ABCD ∠A = ∠C = 26° и ∠B = ∠D = 154°. Докажите параллелограмм и укажите, достаточно ли этого, чтобы назвать его ромбом.

14. В ABCD AB ∥ CD и AB = CD = 12 см. Дополнительно ∠A = 72°. Укажите один достаточный признак и вычислите ∠D.

15. В ABCD AO = OC, а BO не равно OD. При ∠A = 37° диагонали перпендикулярны. Сработает ли критерий деления диагоналей пополам?

16. В ABCD ∠A = 49°, ∠B = 131°, ∠C = 49°, ∠D = 131°. Докажите параллелограмм двумя способами по углам.

17. Ромб имеет острый угол 57°. Укажите признак параллелограмма, не опирающийся на углы, затем вычислите тупые углы.

18. У выпуклого ABCD AB = CD, но AD и BC не параллельны. Дополнительно ∠A = 63°. Можно ли доказать параллелограмм? Назовите недостающее условие.

Ответы, доказательства и исправления

1. ∠C = 35°, ∠B = 145°. У ромба также ∠D = 145°. Обе пары противоположных углов равны, значит, признак параллелограмма выполнен.

2. ∠A = 47°, ∠D = 133°, сумма 180°. Это согласуется с параллельностью AB и CD, но для новой неизвестной фигуры одной такой суммы недостаточно для двух пар параллельных сторон.

3. Диагонали ромба делятся пополам: AO = OC и BO = OD. Это самостоятельный достаточный признак параллелограмма. Число 61° помогает узнать острый угол, но не требуется для критерия.

4. Да. Одна пара противоположных сторон AB, CD одновременно равна и параллельна — достаточный признак; значение ∠A = 73° лишь определяет ∠C = 73° и соседние 107°.

5. Нет. Формально сумма углов 39+39+127+155 = 360°, но ∠B ≠ ∠D. Одной равной пары противоположных углов для параллелограмма мало.

6. Из AB = CD и BC = AD получаются две пары равных противоположных сторон — достаточный признак параллелограмма. Далее ∠C = 79°, ∠B = ∠D = 101°.

7. НЕТ. Перпендикулярные диагонали бывают и у дельтоида, который не является параллелограммом. Значение одного угла не заменяет условия о серединах диагоналей.

8. ДА. Равенство обеих пар противоположных сторон — признак. Угол ∠A = 67° позволяет затем найти ∠C = 67°, ∠B = ∠D = 113°.

9. ДА. Обе пары противоположных сторон параллельны — определение параллелограмма. Соседние углы дополнительны: 180 − 31 = 149°.

10. НЕТ. Указаны пары соседних равных сторон — признаки возможного дельтоида. Нет гарантии равенства противоположных сторон или деления диагоналей пополам.

11. ДА. Диагонали взаимно делятся пополам — достаточный признак независимо от угла. Следовательно, ∠C = 83°.

12. НЕТ. Равные диагонали сами по себе не доказывают параллелограмм; нужно, например, установить, что они делятся пополам.

13. Обе пары противоположных углов равны, значит ABCD — параллелограмм. Ромб не доказан: при таких углах стороны параллелограмма могут иметь разные длины.

14. Одна пара противоположных сторон равна и параллельна — достаточный признак. ∠D = 180 − 72 = 108°. Из этого без равенства смежных сторон ромб не следует.

15. Нет: условие AO = OC выполнено только для одной диагонали; BO ≠ OD разрушает признак. Перпендикулярность диагоналей недостаточна, даже при остром угле 37°.

16. Прямо: противоположные углы попарно равны. Другой путь: ∠A+∠B = ∠B+∠C = 180°, поэтому AD ∥ BC и AB ∥ CD по признаку внутренних односторонних углов.

17. По определению ромба все стороны равны, значит обе пары противоположных сторон равны — признак параллелограмма. Тупые углы B и D равны 180 − 57 = 123°.

18. Нет. Одного равенства противоположных сторон и величины ∠A мало. Достаточно дополнительно установить AB ∥ CD либо AD = BC, чтобы применить признак параллелограмма.

Итоговая проверка маршрута

Отмечайте задачи двумя разными символами на бумаге: «угол найден» и «признак доказан». Можно верно вычислить неизвестный угол, но всё ещё не доказать параллелограмм. И наоборот, можно доказать параллелограмм по сторонам без знания ни одного угла.

Запомните три типовых ложных перехода: перпендикулярные диагонали ≠ диагонали, делящиеся пополам; две смежные равные стороны ≠ две пары противоположных равных сторон; одна равная пара противоположных углов ≠ обе пары. Для квадрата и ромба есть дополнительные свойства, но их нельзя предполагать без данных.

Проверьте себя: в задачах 4, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 17 есть однозначный достаточный признак; в других ищите его в полном решении. За 18 верных ответов получите 18 баллов; за ясное указание признака в каждом пункте — ещё до 18. Исправлять стоит прежде всего формулировку доказательства, а не только число градусов.