Сравнение площадей подобных фигур для подобия по двум сторонам — диагностика ошибок, 8 класс

Диагностика для 8 класса. Условие «две стороны пропорциональны» само по себе недостаточно для подобия треугольников. Нужен ещё равный угол между этими сторонами. В задачах этот признак обозначим «две стороны и угол между ними»: BA ↔ QP, BC ↔ QR, ∠B ↔ ∠Q. Тогда AB/ PQ = BC/QR = AC/PR, а площадь изменяется в квадрате линейного масштаба.

Разобранный пример: проверка в обоих направлениях

У треугольника ABC стороны AB = 8 см и BC = 12 см, а у PQR соответствующие PQ = 10 см и QR = 15 см. Дано равенство включённых углов ∠ABC = ∠PQR. Поскольку 8/10 = 12/15 = 4/5, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. Площади относятся как S(ABC):S(PQR) = 16:25. Если S(ABC)=32 см², то S(PQR)=50 см².

Обратная проверка: 50/32 = 25/16 = (10/8)². Если вместо 50 получить 40, то вычисление использовало линейный множитель 5/4 вместо его квадрата. В такой ошибке нельзя исправить только единицы: нужно заменить весь шаг перехода от длины к площади.

Часть I — измените данные и проверьте пропорцию

Задание 1. AB=9 см, BC=12 см; PQ=15 см, QR=20 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=36 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 2. AB=12 см, BC=15 см; PQ=20 см, QR=25 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=81 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 3. AB=14 см, BC=21 см; PQ=10 см, QR=15 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=147 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 4. AB=6 см, BC=10 см; PQ=9 см, QR=15 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=24 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 5. AB=18 см, BC=24 см; PQ=12 см, QR=16 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=162 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 6. AB=15 см, BC=18 см; PQ=25 см, QR=30 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=90 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 7. AB=20 см, BC=28 см; PQ=15 см, QR=21 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=210 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Задание 8. AB=16 см, BC=22 см; PQ=24 см, QR=33 см; ∠B = ∠Q (включённые углы равны), S(ABC)=176 см². Доказать подобие по указанному признаку и найти S(PQR).

Часть II — границы применимости признака

Здесь нужно не только посчитать, но и обосновать, можно ли вообще говорить о коэффициенте подобия. Важно, где именно расположен заданный угол.

Задание 9. AB=10, BC=16, PQ=15, QR=24; ∠B=44°, ∠Q=62°. Ученик объявил фигуры подобными. Достаточно ли данных?

Задание 10. AB=8, BC=13; PQ=12, QR=19,5; ∠B=∠Q=53°. Можно ли получить одно значение масштаба?

Задание 11. AB=12, BC=18; PQ=18, QR=27; даны равные углы ∠A и ∠P, но неизвестны ∠B и ∠Q. Доказан ли признак по двум сторонам?

Задание 12. AB=9, BC=15; PQ=15, QR=25; ∠B=∠Q. Ученик записал AB:PQ = QR:BC. Найдите верную пропорцию.

Задание 13. У подобных по двум сторонам и включённому углу треугольников S(ABC)=72 см², S(PQR)=128 см². Найдите PQ/AB.

Задание 14. Площади двух подобных треугольников относятся как 25:49; первый имеет сторону 20 см, соответствующая сторона второго неизвестна. Найдите её.

Задание 15. AB=11, BC=14, PQ=22, QR=28; ∠B=∠Q. Площадь PQR=180 см². Найдите площадь ABC.

Задание 16. AB=5, BC=7, PQ=15, QR=21, ∠B=∠Q. Ученик получил увеличение площади в 6 раз. Укажите ошибку.

Ответы, обратная проверка и исправление ошибок

Ответ 1. Отношения PQ/AB=15/9=5/3 и QR/BC=20/12=5/3 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 36·(5/3)² = 100 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 25/9.

Ответ 2. Отношения PQ/AB=20/12=5/3 и QR/BC=25/15=5/3 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 81·(5/3)² = 225 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 25/9.

Ответ 3. Отношения PQ/AB=10/14=5/7 и QR/BC=15/21=5/7 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 147·(5/7)² = 75 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 25/49.

Ответ 4. Отношения PQ/AB=9/6=3/2 и QR/BC=15/10=3/2 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 24·(3/2)² = 54 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 9/4.

Ответ 5. Отношения PQ/AB=12/18=2/3 и QR/BC=16/24=2/3 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 162·(2/3)² = 72 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 4/9.

Ответ 6. Отношения PQ/AB=25/15=5/3 и QR/BC=30/18=5/3 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 90·(5/3)² = 250 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 25/9.

Ответ 7. Отношения PQ/AB=15/20=3/4 и QR/BC=21/28=3/4 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 210·(3/4)² = 945/8 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 9/16.

Ответ 8. Отношения PQ/AB=24/16=3/2 и QR/BC=33/22=3/2 совпали; включённые углы равны. Поэтому S(PQR) = 176·(3/2)² = 396 см². Контроль: S(PQR)/S(ABC) = 9/4.

Ответ 9. Нет: отношения 10/15 и 16/24 равны 2/3, но включённые углы 44° и 62° различны. Признак по двум сторонам и углу между ними не выполнен. Никакого отношения площадей из этих сведений утверждать нельзя.

Ответ 10. Да: PQ/AB=12/8=3/2, QR/BC=19,5/13=3/2; это одно и то же значение. При равных включённых углах подобие доказано, коэффициент увеличения 3/2, отношение площадей PQR:ABC=9:4.

Ответ 11. Нет. Две пропорциональные стороны AB,BC сходятся в B, а PQ,QR — в Q; требуются равные углы B и Q. Равенство A и P не является равенством включённых углов этих двух пар.

Ответ 12. Ошибка в ориентации второй дроби: AB/PQ = 9/15 = 3/5 и BC/QR = 15/25 = 3/5. Запись 9/15 = 25/15 неверна. Площади ABC:PQR = (3/5)² = 9:25.

Ответ 13. Отношение площадей 128/72 = 16/9; коэффициент длин PQ/AB = √(16/9) = 4/3 (берём положительный корень). Проверка: 72·(4/3)² = 128.

Ответ 14. Коэффициент длин второго к первому √(49/25)=7/5. Соответствующая сторона 20·7/5=28 см. Обратный контроль: 20:28=5:7, квадраты дают 25:49.

Ответ 15. Масштаб увеличения равен 2, площади относятся как 1:4. S(ABC) = 180/4 = 45 см². Проверка: 45·2²=180 см².

Ответ 16. Обе стороны увеличены в 3 раза; площадь увеличивается в 3²=9 раз. Шестикратный множитель нельзя получить сложением двух троек: площадь зависит от произведения двух линейных размеров.

Как распознать ложный вывод

Проверяйте соответствие вершин до вычисления коэффициента. Для AB и BC общая вершина B, для PQ и QR — Q. Поэтому нужно равенство именно ∠B = ∠Q. Равенство посторонних углов может быть полезно для другого доказательства, но не является данным признаком.

Слово «подобны» означает, что сохраняются соответствующие углы и отношения соответствующих сторон. Неверно утверждать, что совпадение двух дробей при произвольных углах уже делает фигуры подобными: например, два треугольника могут иметь стороны 10 и 16 у угла 44°, а другой — 15 и 24 у угла 62°. Линейные пары пропорциональны, но формы отличаются.

Чтобы не потерять ориентацию дробей, всюду пишите «большая фигура / малая фигура» или «PQR / ABC». Если PQ/AB = 3/2, то S(PQR)/S(ABC)=9/4, а не 4/9. Обратный переход от площадей к длинам всегда использует положительный квадратный корень. Проверка разумности: при увеличении каждой стороны масштабом больше единицы площадь обязана расти.

Самопроверка: в заданиях 1–8 при равенстве включённых углов подобие доказано; в 9 и 11 — нет, в 10 — да, несмотря на формулировку «можно ли». Такая смена верных и неверных предположений предотвращает механическое угадывание. За числовой ответ и доказательство в каждом пункте ставьте по одному баллу, максимум 32.