Поиск ошибки в пропорции при известном отношении площадей: тематические карточки для 8 класса

Исследовательский вопрос. Если площади двух фигур относятся как 9:16, можно ли сразу написать отношение соответствующих сторон 9:16? Начните не с правила, а с наблюдения. Рассматриваем только уже доказанно подобные фигуры: одна получена равномерным увеличением другой, а не произвольным растяжением одного края.

Наблюдение: квадратная сетка вместо догадки

Возьмите квадрат со стороной 3 клетки и квадрат со стороной 4 клетки. Их площади 9 и 16 квадратных клеток, а стороны 3 и 4 клетки. Если ученик пишет «9:16 — это отношение сторон», он смешивает линейную меру и меру площади. Проверьте вывод на втором опыте: сторона первого квадрата 5 клеток, второго 8 клеток; площади относятся как 25:64. Разница между парами 5:8 и 25:64 не случайна.

Для любых подобных многоугольников соответствующие основания и высоты изменяются с одним и тем же положительным коэффициентом k. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, она меняется в k·k = k² раз. Многоугольник можно разбить на треугольники; значит, это правило распространяется на его площадь целиком.

Откройте правило сами

Сформулируйте его словами перед выполнением упражнений: «отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров». В обратную сторону используйте положительный квадратный корень. Для неизвестного коэффициента длин отрицательный корень невозможен, ведь длины положительны.

Задачи-наблюдения и обратный расчёт

Задание 1. S(A):S(B)=9:16. Найдите отношение соответствующих сторон A:B.

Задание 2. S(A):S(B)=25:36. Ученик написал A:B=25:36 для длин. Исправьте.

Задание 3. S(A):S(B)=16:81. Как отличается коэффициент площадей от коэффициента длин?

Задание 4. S(A):S(B)=49:64; первая соответствующая сторона 21 см. Найдите вторую.

Задание 5. Площадь A больше площади B в отношении 36:25. Во сколько раз соответствующая сторона A длиннее стороны B?

Задание 6. Два подобных листа имеют площади 1:9. Если меньший имеет сторону 6 см, какова соответствующая сторона большего?

Задание 7. S(A)=108 см², S(B)=75 см². Найдите A:B по длинам при доказанном подобии.

Задание 8. Соответствующие стороны A:B равны 7:4. Ученик получил отношение площадей 14:8. Найдите ошибку.

Задание 9. Для подобных фигур S(A):S(B)=9:25, сторона A равна 15 см. Найдите сторону B.

Задание 10. Периметры подобных многоугольников A и B равны 30 и 42 см, S(A)=50 см². Найдите S(B).

Задание 11. Два прямоугольника 2×6 и 3×4 имеют площадь по 12 см². Можно ли утверждать подобие лишь по равенству площадей?

Задание 12. Прямоугольники 4×3 и 12×2 имеют площади 12 и 24 см². Можно ли по отношению 1:2 объявить их подобными?

Задание 13. У подобных фигур S(A):S(B)=4:9. Ученик утверждает, что каждая сторона B больше соответствующей стороны A в 9/4 раза. Исправьте.

Задание 14. У двух подобных фигур S(A):S(B)=1:4, но в условии дополнительно заявлено P(A):P(B)=2:1. Совместимы ли сведения?

Задание 15. Площади двух подобных фигур относятся как 9:4, сторона A равна 18 см. Найдите соответствующую сторону B и объясните выбор корня.

Ключ и проверка гипотез

Ответ 1. √(9/16)=3/4. Стороны A:B=3:4; обратная проверка: 3²:4²=9:16.

Ответ 2. Линейное отношение равно √(25/36)=5/6, то есть 5:6. Ошибка — отсутствие квадратного корня.

Ответ 3. Площади относятся как 16:81, стороны как 4:9. Коэффициент длин 4/9, а площадей (4/9)²=16/81.

Ответ 4. Отношение сторон 7:8, поэтому вторая 21·8/7=24 см. Проверка: 21²/24²=49/64.

Ответ 5. В √(36/25)=6/5 раза. Площадь увеличивается в 1,44 раза, длина — лишь в 1,2 раза.

Ответ 6. Линейное отношение 1:3. У большего сторона 18 см. Проверка: (6/18)²=1/9.

Ответ 7. 108/75=36/25. Отношение длин √(36/25)=6/5, то есть 6:5.

Ответ 8. 14:8 сокращается до 7:4 — это снова отношение длин. Площади относятся как 7²:4²=49:16.

Ответ 9. Отношение длин 3:5; сторона B = 15·5/3=25 см. Проверка: 15²:25²=9:25.

Ответ 10. Масштаб B/A по периметрам 42/30=7/5. Поэтому S(B)=50·(7/5)²=98 см². Обратная проверка: 98/50=49/25.

Ответ 11. Нет. Отношения сторон первого 2:6=1:3, второго 3:4. Они различны даже с учётом поворота; равная площадь не доказывает подобие.

Ответ 12. Нет. Соотношения смежных сторон 4:3 и 12:2=6:1 различны. Знать отношение площадей недостаточно, чтобы доказать одинаковую форму.

Ответ 13. Правильный масштаб B/A=√(9/4)=3/2, не 9/4. Квадрат 3/2 даёт требуемое отношение площадей 9/4.

Ответ 14. Нет. Из отношения площадей 1:4 следует отношение периметров 1:2. Указанные 2:1 противоречат ему (при одной ориентации A:B).

Ответ 15. Стороны A:B=3:2, поэтому B=18·2/3=12 см. Берём положительный корень √(9/4)=3/2, поскольку отрицательных длин нет.

Контрпример — зачем отдельно доказывать подобие

Отношение площадей 1:4 не позволяет заключить, что все стороны второго многоугольника вдвое больше: прямоугольник 2×6 имеет площадь 12, а прямоугольник 3×16 — площадь 48, но их отношения смежных сторон 1:3 и 3:16 разные. Следовательно, вывод о сторонах возможен только после установления подобия другим способом.

Второй контрпример показывает направление ошибки: прямоугольник со сторонами 4 и 3 имеет площадь 12, прямоугольник со сторонами 12 и 2 — площадь 24. Частное площадей равно 2, но ни одно однородное увеличение не превращает размеры 4×3 в 12×2: ширина увеличилась втрое, высота уменьшилась в полтора раза.

Вывод исследовательского занятия

У коэффициента подобия две самостоятельные проверки. Во-первых, по соответствующим сторонам он должен быть одинаковым для каждой пары. Во-вторых, квадрат коэффициента должен совпадать с отношением площадей, а сам коэффициент — с отношением периметров. Если одна проверка противоречит другой, ищите перепутанную ориентацию отношения либо отсутствие самого подобия.

Для дополнительного опыта нарисуйте квадрат 2×2 клетки и увеличьте его до 6×6: длины вырастут втрое, площадь — в девять раз. Затем попробуйте получить площадь 36 из исходной площади 4, растянув только одну сторону в девять раз. Площади вновь будут в отношении 1:9, но фигуры уже окажутся не подобными. Это объясняет, почему одного числа S(A):S(B) мало.

Оценивание: 15 заданий, по одному баллу за числовой результат и по одному за аргумент. В заданиях 11, 12, 14 главное — не вычисление корня, а отказ от недоказанного вывода. После ошибки перепишите словами, какую именно величину вы сравниваете: длину, периметр или площадь.