Восстановление номера члена при условии на средний член — задания с разбором, 9 класс

Учебный маршрут. Серединный член конечного отрезка арифметической прогрессии имеет две роли: он равноудалён от первого и последнего и равен их полусумме. Для нечётного числа n = 2k − 1 членов серединный член имеет номер k = (n + 1)/2, и Sₙ = n·aₖ. Здесь ищем именно номер k и число членов n, а не «среднее арифметическое» двух случайных чисел.

Цель работы — проверить, какой номер может занимать заданный средний член, и не перепутать центральную позицию с длиной ряда. Если a₁ и d известны, равенство aₖ = a₁ + (k − 1)d даёт k = 1 + (aₖ − a₁)/d при d ≠ 0. После проверки k ∈ {1, 2, 3, …} число членов n = 2k − 1 обязательно нечётно.

Лёгкий старт: восстановите место середины

Задание 1. В конечной прогрессии a₁ = 5, d = 3. Центральный член равен 20. Найдите его номер k и сколько всего членов n у ряда с единственной серединой.

Задание 2. В конечной прогрессии a₁ = 18, d = -2. Центральный член равен 10. Найдите его номер k и сколько всего членов n у ряда с единственной серединой.

Задание 3. В конечной прогрессии a₁ = -8, d = 4. Центральный член равен 16. Найдите его номер k и сколько всего членов n у ряда с единственной серединой.

Задание 4. В конечной прогрессии a₁ = 30, d = -5. Центральный член равен 15. Найдите его номер k и сколько всего членов n у ряда с единственной серединой.

Задание 5. В конечной прогрессии a₁ = 3, d = 6. Центральный член равен 45. Найдите его номер k и сколько всего членов n у ряда с единственной серединой.

Задание 6. В конечной прогрессии a₁ = 27, d = -3. Центральный член равен 12. Найдите его номер k и сколько всего членов n у ряда с единственной серединой.

Развилка «верно или ошибка?»

Следующие шесть рассуждений не обязательно ошибочны. Выберите «верно» либо «ошибка», уточните нарушенное условие и дайте исправленный результат. Нельзя соглашаться только потому, что получился целый номер.

Задание 7. a₁=4, d=2, средний член 16. Ученик нашёл k=7, n=14.

Задание 8. a₁=21, d=−4, средний член 5. Ученик назвал k=5 и n=9.

Задание 9. a₁=3, d=5, средний член 16. Ученик получил k=3,6 и n=6,2.

Задание 10. a₁=11, d=0, средний член 11. Ученик утверждает, что это обязательно третий член.

Задание 11. a₁=9, d=−3, средний член 12. Ученик нашёл k=0 и объявил его центральным.

Задание 12. Ряд содержит 12 членов. Ученик назвал шестой член единственным средним.

Длинный маршрут: восстановите и проверьте сумму

В заданиях 13–18 после нахождения k обязательно вычислите n = 2k − 1 и сумму Sₙ = naₖ. Чтобы проверить её независимым способом, найдите последний член aₙ и подставьте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Задание 13. a₁=-4, d=5, серединный член равен 21. Восстановите k, число n, сумму первых n членов, затем подтвердите сумму по первому и последнему членам.

Задание 14. a₁=16, d=-1, серединный член равен 8. Восстановите k, число n, сумму первых n членов, затем подтвердите сумму по первому и последнему членам.

Задание 15. a₁=6, d=2, серединный член равен 24. Восстановите k, число n, сумму первых n членов, затем подтвердите сумму по первому и последнему членам.

Задание 16. a₁=40, d=-3, серединный член равен 19. Восстановите k, число n, сумму первых n членов, затем подтвердите сумму по первому и последнему членам.

Задание 17. a₁=-15, d=4, серединный член равен 9. Восстановите k, число n, сумму первых n членов, затем подтвердите сумму по первому и последнему членам.

Задание 18. a₁=25, d=-2, серединный член равен 5. Восстановите k, число n, сумму первых n членов, затем подтвердите сумму по первому и последнему членам.

Ключ и подробный разбор

1. (20 − (5))/3 + 1 = 6; значит, k = 6, n = 2·6 − 1 = 11. Проверка: a₆ = 5 + (6 − 1)·(3) = 20.

2. (10 − (18))/-2 + 1 = 5; значит, k = 5, n = 2·5 − 1 = 9. Проверка: a₅ = 18 + (5 − 1)·(-2) = 10.

3. (16 − (-8))/4 + 1 = 7; значит, k = 7, n = 2·7 − 1 = 13. Проверка: a₇ = -8 + (7 − 1)·(4) = 16.

4. (15 − (30))/-5 + 1 = 4; значит, k = 4, n = 2·4 − 1 = 7. Проверка: a₄ = 30 + (4 − 1)·(-5) = 15.

5. (45 − (3))/6 + 1 = 8; значит, k = 8, n = 2·8 − 1 = 15. Проверка: a₈ = 3 + (8 − 1)·(6) = 45.

6. (12 − (27))/-3 + 1 = 6; значит, k = 6, n = 2·6 − 1 = 11. Проверка: a₆ = 27 + (6 − 1)·(-3) = 12.

7. Ошибка: k=1+(16−4)/2=7, но число членов при одной центральной позиции n=2k−1=13, не 14.

8. Верно: k=1+(5−21)/(−4)=5 и n=2·5−1=9; a₅=5.

9. Ошибка: дробный номер невозможен. По данной прогрессии число 16 вообще не является её членом, так что середины со значением 16 нет.

10. Ошибка: все члены равны 11. Подойдут любые k≥1 и любое нечётное число n=2k−1; номер не определяется однозначно.

11. Ошибка: k=1+(12−9)/(−3)=0; номер 0 не относится к прогрессии, допустимого ряда нет.

12. Ошибка: при чётном количестве две центральные позиции — шестая и седьмая, единственного центрального члена нет.

13. k=1+(21−(-4))/(5)=6, n=11. Центральный член a₆=21, значит S₁₁=11·(21)=231. Последний член a₁₁=46; обратная проверка: 11·(-4+(46))/2=231.

14. k=1+(8−(16))/(-1)=9, n=17. Центральный член a₉=8, значит S₁₇=17·(8)=136. Последний член a₁₇=0; обратная проверка: 17·(16+(0))/2=136.

15. k=1+(24−(6))/(2)=10, n=19. Центральный член a₁₀=24, значит S₁₉=19·(24)=456. Последний член a₁₉=42; обратная проверка: 19·(6+(42))/2=456.

16. k=1+(19−(40))/(-3)=8, n=15. Центральный член a₈=19, значит S₁₅=15·(19)=285. Последний член a₁₅=-2; обратная проверка: 15·(40+(-2))/2=285.

17. k=1+(9−(-15))/(4)=7, n=13. Центральный член a₇=9, значит S₁₃=13·(9)=117. Последний член a₁₃=33; обратная проверка: 13·(-15+(33))/2=117.

18. k=1+(5−(25))/(-2)=11, n=21. Центральный член a₁₁=5, значит S₂₁=21·(5)=105. Последний член a₂₁=-15; обратная проверка: 21·(25+(-15))/2=105.

Последняя проверка маршрута

Выберите любые два решения блока «длинный маршрут» и убедитесь: для центрального члена aₖ расстояния до крайних позиций равны k − 1. Следовательно, a₁ + aₙ = 2aₖ, даже если члены отрицательны или переходят через ноль. Это не дополнительная формула «на память», а следствие равной разности между соседними членами.

Когда d = 0, формулу с делением на d использовать нельзя. Если средний член совпадает с a₁, подходит любое нечётное n; если не совпадает, нет ни одного подходящего ряда. Когда d ≠ 0, единственное вычисленное k надо проверить: положительное целое число; иначе задача не имеет решения в натуральных номерах.

Самооценивание: задания 1–6 проверяют вычислительный алгоритм, 7–12 — смысл условий и распознавание ошибок, 13–18 — полный путь с двумя способами проверки. За каждый пункт начисляйте 1 балл за корректный k и ещё 1 за объяснение/проверку; максимум 36. Если ошибка в n, повторите переход от k к 2k−1; если ошибка в сумме, проверьте последний член.