Проверка принадлежности числа прогрессии при ограничении на сумму первых членов: диагностика ошибок, 9 класс
Табличный практикум. Здесь «число допущено в набор» означает одновременно два условия: (1) оно стоит среди первых N членов прогрессии, (2) сумма именно этих N членов удовлетворяет указанному ограничению. Даже если число встречается в бесконечной прогрессии, оно может не входить в первые N членов; а подходящий по номеру член не засчитывается, когда ограничение на сумму нарушено.
Схема проверки: вычислите S_N = N[2a₁ + (N−1)d]/2; затем решите x = a₁ + (k−1)d и проверьте 1 ≤ k ≤ N. При d = 0 вопрос о номере заменяется проверкой равенства x = a₁. Для убывающей прогрессии сумма может быть отрицательной: не заменяйте её модулем.
Содержание статьи4 раздела
Исходная таблица: двенадцать наборов
| № | a₁ | d | N | Сумма | Число x |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 3 | 8 | S8 ≤ 120 | 19 |
| 2 | 7 | 2 | 7 | S7 ≤ 90 | 19 |
| 3 | 2 | 5 | 6 | S6 ≥ 80 | 27 |
| 4 | 10 | -2 | 8 | S8 ≥ 24 | 0 |
| 5 | -5 | 4 | 7 | S7 ≥ 45 | 15 |
| 6 | 6 | 0 | 9 | S9 ≤ 55 | 6 |
| 7 | 12 | -3 | 7 | S7 ≥ 18 | -3 |
| 8 | 3 | 6 | 5 | S5 ≤ 65 | 27 |
| 9 | -4 | 5 | 8 | S8 ≥ 90 | 31 |
| 10 | 9 | -4 | 6 | S6 ≤ 0 | -11 |
| 11 | 1 | 3 | 10 | S10 ≤ 125 | 28 |
| 12 | 20 | -5 | 6 | S6 ≥ 38 | -10 |
Задание 1. По строке № 1 определите, разрешён ли набор первых 8 членов и принадлежит ли число 19 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 2. По строке № 2 определите, разрешён ли набор первых 7 членов и принадлежит ли число 19 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 3. По строке № 3 определите, разрешён ли набор первых 6 членов и принадлежит ли число 27 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 4. По строке № 4 определите, разрешён ли набор первых 8 членов и принадлежит ли число 0 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 5. По строке № 5 определите, разрешён ли набор первых 7 членов и принадлежит ли число 15 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 6. По строке № 6 определите, разрешён ли набор первых 9 членов и принадлежит ли число 6 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 7. По строке № 7 определите, разрешён ли набор первых 7 членов и принадлежит ли число -3 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 8. По строке № 8 определите, разрешён ли набор первых 5 членов и принадлежит ли число 27 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 9. По строке № 9 определите, разрешён ли набор первых 8 членов и принадлежит ли число 31 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 10. По строке № 10 определите, разрешён ли набор первых 6 членов и принадлежит ли число -11 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 11. По строке № 11 определите, разрешён ли набор первых 10 членов и принадлежит ли число 28 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Задание 12. По строке № 12 определите, разрешён ли набор первых 6 членов и принадлежит ли число -10 разрешённому набору. Если нет, укажите точную причину.
Обнаружьте четыре методические ошибки
Следующие утверждения специально не приведены в таблице: оцените каждое по двум условиям. Если ошибка обнаружена, напишите исправленный алгоритм, а не только слово «нет».
Задание 13. a₁=3, d=2, N=5, S₅≤35, x=13. Ученик проверил S₅=35 и заявил, что 13 принадлежит набору.
Задание 14. a₁=−2, d=3, N=6, S₆≥34, x=10. Ученик нашёл x=a₅ и сразу ответил «да».
Задание 15. a₁=5, d=0, N=7, S₇≤35, x=5. Ученица разделила на d, получила ошибку и решила, что ответа нет.
Задание 16. a₁=9, d=−3, N=5, S₅≥15, x=0. Ученик заменил отрицательную разность на положительную.
Ключ с двумя независимыми проверками
1. S8=116; ограничение ≤ 120 выполнено; формальный номер k=6, допустим среди 1…8. Ответ: да.
2. S7=91; ограничение ≤ 90 нарушено; формальный номер k=7, допустим среди 1…7. Ответ: нет.
3. S6=87; ограничение ≥ 80 выполнено; формальный номер k=6, допустим среди 1…6. Ответ: да.
4. S8=24; ограничение ≥ 24 выполнено; формальный номер k=6, допустим среди 1…8. Ответ: да.
5. S7=49; ограничение ≥ 45 выполнено; формальный номер k=6, допустим среди 1…7. Ответ: да.
6. S9=54; ограничение ≤ 55 выполнено; при d=0 число 6 равно каждому члену. Ответ: да.
7. S7=21; ограничение ≥ 18 выполнено; формальный номер k=6, допустим среди 1…7. Ответ: да.
8. S5=75; ограничение ≤ 65 нарушено; формальный номер k=5, допустим среди 1…5. Ответ: нет.
9. S8=108; ограничение ≥ 90 выполнено; формальный номер k=8, допустим среди 1…8. Ответ: да.
10. S6=-6; ограничение ≤ 0 выполнено; формальный номер k=6, допустим среди 1…6. Ответ: да.
11. S10=145; ограничение ≤ 125 нарушено; формальный номер k=10, допустим среди 1…10. Ответ: нет.
12. S6=45; ограничение ≥ 38 выполнено; формальный номер k=7, не является номером среди 1…6. Ответ: нет.
13. Нет. S₅=5(6+8)/2=35 удовлетворяет границе, но x=13 имеет k=1+(13−3)/2=6, а 6>N=5; число вне разрешённых первых пяти.
14. S₆=6[−4+15]/2=33, что меньше 34. Хотя x=10 действительно a₅, ограничение на сумму нарушено: итог «нет».
15. При d=0 делить нельзя. S₇=35 подходит; все семь членов равны 5, поэтому x=5 принадлежит набору. Итог «да».
16. Правильно S₅=5[18−12]/2=15, а x=0 имеет k=1+(0−9)/(−3)=4; число a₄=0. Итог «да»; менять знак d без основания нельзя.
Сверка противоречий и вывод
В каждой строке сначала оцените сам набор из первых N чисел, затем членство x именно в этом наборе. Запись «x принадлежит прогрессии» может быть истинной для бесконечной последовательности и ложной для ограниченного набора, поэтому всегда указывайте диапазон номеров.
Особенно внимательно проверяйте отрицательную разность и d = 0. При d < 0 значения S_N и a_N могут уменьшаться; сумма слагаемых разного знака вычисляется с учётом их знаков. При d = 0 формула номера через деление на d недопустима.
Критерий: в первых двенадцати заданиях 1 балл за точную сумму и 1 балл за членство; в последних четырёх ещё по одному баллу за исправление логики. Всего 36 баллов. Если вычислена сумма правильно, но число вне первых N, записывайте отдельно «сумма допустима; номер недопустим», а не оставляйте ответ без причины.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.