Восстановление первого члена в модели поэтапного роста — тематические карточки для 9 класса

9 класс · Геометрическая прогрессия · 18 заданий. Во всех карточках первый член — количество на первом этапе, а не до запуска отсчёта. Между этапами 1 и 4 ровно три перехода. Сюжеты — учебные условные модели: реальные процессы не обязаны расти бесконечно геометрически.

Маршрут: от наблюдения к обратному счёту

Если показатель меняется по постоянному множителю q>1, то bₙ=b₁qⁿ⁻¹, следовательно, b₁=bₙ/qⁿ⁻¹. Рост на 20% соответствует q=1,2, а рост в 2 раза — q=2. При известном результате на двух разных этапах сперва определите знаменатель прогрессии.

Выполняйте маршрут по порядку. На развилке обязательно напишите «верно» или «ошибка» и предложите исправление; в заданиях с таблицами сохраняйте единицы. Ответы после заданий нужны для самопроверки, а не вместо вычислений.

Лёгкий старт

• 1. В школьной мастерской число заготовок после каждого этапа удваивается. На этапе 4 их 120. Сколько было на этапе 1?
• 2. Количество клеток культуры на третьем измерении равно 189, на каждом шаге оно утраивается. Найдите начальную величину.
• 3. Тренировочный объём растёт в 1,5 раза за шаг. На этапе 3 он составляет 90 условных единиц. Определите старт.
• 4. Объём данных увеличивается на 20% за шаг. На этапе 3 получено 144 МБ. Сколько было в начале?

Развилка «верно или ошибка»

• 5. Из-за удвоения на каждом шаге 80 объектов на четвёртом этапе означает 40 объектов на первом.
• 6. При росте на 25% за этап величину 125 на втором этапе делят на 1,25, получая 100 на первом.
• 7. Два этапа роста по 10% дают суммарный прирост ровно 20%.
• 8. Если на третьем этапе 72 единицы, а множитель перехода равен 3, то начальная величина равна 8.

Данные и пропуски

• 9. Таблица этапов содержит 12; 18; 27; ?. Продолжите её и назовите первый член.
• 10. Этап 2: 48 деталей; этап 4: 192 детали. Множитель роста постоянен и больше 1. Найдите q и b₁.
• 11. На третьем шаге накоплено 128 баллов, каждый раз результат удваивается. Восстановите строку этапов 1–4.
• 12. Производство увеличивается на 50% за смену. В третью смену выпущено 108 наборов. Определите выпуск второй и первой смен.
• 13. На четвёртом этапе 625 единиц, рост за этап в 5 раз. Составьте формулу bₙ и начальное значение.

Итоговый маршрут

• 14. Начальный объём был неизвестен. После трёх переходов по 20% измерили 172,8 л. Сколько литров было в начале?
• 15. С четвёртого этапа известно 216 элементов, со второго — 54. Рост равномерный. Восстановите старт.
• 16. На пятом этапе 486 единиц, q=3. Один ученик разделил 486 на 3⁵. Найдите ошибку и верный старт.
• 17. На втором этапе 75 шт., на третьем 112,5 шт. Какая была первая партия? Дайте точный ответ.
• 18. Рост на 25% за этап дал на третьем этапе 250 объектов. Найдите первую величину и проверьте округление.

Проверка: решения каждого шага

• 1. b₁=120/2³=15 заготовок.
• 2. b₁=189/3²=21 клетка.
• 3. b₁=90/(1,5)²=40 единиц.
• 4. q=1,2; b₁=144/(1,2)²=100 МБ.
• 5. Ошибка: между первым и четвёртым этапами три перехода. b₁=80/8=10, а не 40.
• 6. Верно: q=5/4, b₁=125/(5/4)=100.
• 7. Ошибка: множитель 1,1²=1,21, то есть 21%.
• 8. Верно: 8·3²=72.
• 9. q=18/12=3/2; b₁=12; четвёртое значение 40,5.
• 10. q²=192/48=4, q>1 ⇒ q=2, b₁=48/2=24 детали.
• 11. b₁=128/4=32; ряд 32, 64, 128, 256.
• 12. b₁=108/2,25=48; b₂=72; b₃=108.
• 13. b₁=625/125=5; bₙ=5·5ⁿ⁻¹.
• 14. b₄=172,8; b₁=172,8/1,2³=172,8/1,728=100 л.
• 15. q²=216/54=4, q=2, так как рост; b₁=54/2=27.
• 16. До пятого этапа четыре перехода, не пять. b₁=486/3⁴=486/81=6.
• 17. q=112,5/75=1,5; b₁=75/1,5=50 шт.
• 18. b₁=250/(5/4)²=250·16/25=160. Второй этап 200, третий 250; округлять промежуточные числа не нужно.

Как исправить ошибку по результатам маршрута

Если перепутаны номер этапа и число переходов, нарисуйте четыре последовательных клетки и поставьте между ними три стрелки. Если ошиблись с процентом, запишите множитель в десятичной форме, например 125% = 1,25. Если неправильно нашли q по двум несоседним наблюдениям, сначала подсчитайте расстояние в шагах; в задании 10 это два шага, поэтому q²=4, а не q=4.

Критерий освоения: не менее 15 правильных решений из 18, включая хотя бы одно задание с процентным ростом и одно на определение q по двум этапам. При работе с измерениями, где числа приближённые, точность результата определяется точностью исходных данных; в этих карточках числа заданы точно.

Опорная таблица: сколько раз применён множитель

Эта таблица помогает читать номер наблюдения правильно. Номер этапа не равен числу умножений: первая величина уже существовала до первого перехода. Поэтому в задании 16 нельзя делить на 3⁵, а в задании 14 множитель 1,2 применяется три раза. Если этапы названы «нулевой, первый, второй», сначала установите, какой из них принят за начальный: в этих карточках исходное значение всегда обозначено b₁.

Три стратегии обратного восстановления

Стратегия 1: при известном q и конечном наблюдении делим на q несколько раз, возвращаясь назад по стрелкам. Например, 108 → 72 → 48 при q=1,5. Стратегия 2: если известны два этапа, сначала найдём число переходов между ними и восстановим q, как в пункте 10. Стратегия 3: процент роста переводим в множитель: увеличение на 50% означает умножение на 1,5, а не прибавление 50 единиц.

Проверяя практическую модель, отличайте математическое значение от физического смысла. Для счётных объектов дробное число на промежуточном этапе может потребовать переосмысления условия; такие данные здесь используются только там, где количество допускает условные единицы или задано как учебная модель. Для целых деталей и предметов в примерах подобраны целочисленные результаты. Проверка результата всегда проводится прямым движением от найденного первого члена к конечному этапу.