Восстановление уравнения параболы с ненулевым свободным членом: самостоятельная работа, 9 класс

Самостоятельная работа для 9 класса. 12 коротких вопросов по восстановлению y=ax²+bx+c, где a≠0 и c≠0. Иногда хватает пересечения с осью Oy, иногда нужны вершина, нули или значения в точках. У каждого вопроса один балл.

12 вопросов · сначала отвечайте без ключа

• 1. Заполните пропуск: если y(0)=−4, то свободный член c равен ___.
• 2. При a=2, b=−3 и y(0)=5 восстановите многочлен y=ax²+bx+c.
• 3. Известно y(−1)=4, y(0)=3, y(1)=6. Найдите a и b.
• 4. Вершина (2;5), коэффициент a=1. Запишите уравнение и проверьте c≠0.
• 5. Парабола симметрична относительно x=1; y(0)=−3 и y(1)=−5. Найдите уравнение.
• 6. Верно ли: если c≠0, то парабола не пересекает ось Ox?
• 7. Дана функция y=x²−6x+8. Назовите её пересечение с Oy.
• 8. Нули равны 1 и 2, а значение при x=0 равно 4. Определите a и запишите y.
• 9. Вершина (1;2), точка (0;5). Найдите уравнение.
• 10. Коэффициент a=−2, точки (0;7), (1;4). Найдите b.
• 11. В таблице y(−1)=10, y(0)=3, y(1)=2. Вычислите a,b,c.
• 12. Нули функции −1 и 2, значение y(0)=−6. Найдите полную формулу и проверьте c.

Ключ и разбор спорных ответов

• 1. c=−4, потому что y(0)=c.
• 2. y=2x²−3x+5; c=5.
• 3. a=2, b=1: a−b=1 и a+b=3; y=2x²+x+3.
• 4. y=(x−2)²+5=x²−4x+9; c=9.
• 5. Вершинный вид a(x−1)²−5; a−5=−3 ⇒ a=2. y=2x²−4x−3.
• 6. Неверно. c задаёт пересечение с Oy; например, y=x²−1 имеет c=−1 и два нуля ±1.
• 7. (0;8), так как y(0)=8.
• 8. y=a(x−1)(x−2), при x=0 получаем 2a=4 ⇒ a=2; y=2x²−6x+4.
• 9. 5=a·1+2 ⇒ a=3; y=3(x−1)²+2=3x²−6x+5.
• 10. c=7; 4=−2+b+7 ⇒ b=−1; y=−2x²−x+7.
• 11. c=3; a−b=7, a+b=−1 ⇒ a=3, b=−4, c=3.
• 12. y=a(x+1)(x−2); −2a=−6 ⇒ a=3. y=3x²−3x−6, свободный член −6≠0.

Баллы и критерии

10–12 баллов: навык сформирован. 7–9: повторите восстановление коэффициентов по точкам. 0–6: начните с равенства c=y(0), затем разберите переход между вершинным и стандартным видами. Обязательная проверка любой найденной формулы — подстановка исходных координат; условие c≠0 не означает отсутствия корней функции.

Ключевая ошибка диагностики: по одной точке (0;c) невозможно восстановить три коэффициента. Чтобы получить единственную параболу, нужны дополнительные независимые условия; при этом не каждая тройка условий совместима.