Восстановление уравнения параболы по известным нулям функции: тематические карточки для 9 класса

9 класс · Тематические карточки с обратной проверкой. Два нуля квадратичной функции задают расположение пересечений с осью Ox, но обычно не определяют высоту или направление ветвей. Дополнительное условие — значение функции в точке или старший коэффициент — позволяет восстановить масштабирующий множитель.

Образец: сначала нули, затем дополнительное условие

Пусть нули 2 и 7, а y(0)=−28. Уравнение имеет вид y=a(x−2)(x−7). Подставим x=0: −28=14a, значит a=−2. Получаем y=−2(x−2)(x−7)=−2x²+18x−28. Обратная проверка: при x=2 и x=7 один из множителей равен нулю, а y(0)=−28. После раскрытия скобок мы сохранили все три исходных условия.

Если нуль один и он двукратный, используется y=a(x−r)². Если заданные нули разные, применяйте y=a(x−r₁)(x−r₂), где a≠0. Не заменяйте a единицей без основания: этим вы выбираете произвольную параболу вместо восстановления указанной.

Серия A — восстановление по значениям

• 1. Нули −2 и 3; y(0)=−12. Найдите формулу в двух видах.
• 2. Нули 1 и 5; значение при x=0 равно 10. Восстановите y.
• 3. Нули −4 и 2; y(0)=8. Ветви направлены вниз или вверх?
• 4. Нули 0 и 7; известно y(1)=−12. Определите уравнение.
• 5. Единственный нуль x=3 (двукратный), y(0)=18. Найдите функцию.
• 6. Нули −1 и 4; y(2)=−12. Запишите многочлен.

Серия B — вершина, симметрия и недостающие данные

• 7. Нули 2 и 6; значение в вершине равно −8. Определите формулу.
• 8. Нули −3 и 3; y(0)=27. Найдите коэффициент a.
• 9. Даны только два нуля: 1 и 3. Можно ли найти единственную формулу?
• 10. Нули −2 и 5; старший коэффициент a=−1/2. Раскройте скобки.
• 11. Нули 0 и −5; y(1)=12. Найдите выражение и проверьте.

Серия C — рациональные корни и невозможные условия

• 12. Нули 1/2 и 2; y(0)=6. Получите многочлен с целыми коэффициентами.
• 13. Нули −1 и 2; y(3)=16. Определите формулу.
• 14. Единственный нуль −2, и y(0)=−20. Найдите формулу и направление ветвей.
• 15. Нули 2 и 4; y(3)=2. Определите вершину и формулу.
• 16. Нули 2 и 5, но y(0)=0. Объясните, можно ли построить квадратичную функцию.

Разбор и обратная проверка всех задач

• 1. y=a(x+2)(x−3), −6a=−12 ⇒ a=2; y=2x²−2x−12. При x=−2 и x=3 получаем нуль; при x=0 — −12.
• 2. 5a=10 ⇒ a=2. y=2(x−1)(x−5)=2x²−12x+10; y(0)=10.
• 3. −8a=8 ⇒ a=−1. y=−(x+4)(x−2)=−x²−2x+8; ветви вниз.
• 4. −6a=−12 ⇒ a=2; y=2x(x−7)=2x²−14x; оба нуля сохраняются.
• 5. y=a(x−3)², 9a=18 ⇒ a=2; y=2(x−3)², y(0)=18.
• 6. −6a=−12 ⇒ a=2; y=2(x+1)(x−4)=2x²−6x−8; y(2)=−12.
• 7. Ось x=4; y(4)=a(2)(−2)=−4a=−8 ⇒ a=2. y=2x²−16x+24; y(4)=−8.
• 8. −9a=27 ⇒ a=−3. y=−3(x²−9)=−3x²+27; нули ±3.
• 9. Нет. Все y=a(x−1)(x−3), a≠0, имеют эти нули. Например, коэффициенты a=1 и a=2 дают разные параболы.
• 10. (x+2)(x−5)=x²−3x−10; y=−(1/2)x²+(3/2)x+5. При −2 и 5 значение нулевое.
• 11. y=ax(x+5), 6a=12 ⇒ a=2. y=2x²+10x; y(1)=12.
• 12. y=a(x−1/2)(x−2); при 0 множители дают 1, значит a=6. y=6x²−15x+6; y(1/2)=y(2)=0.
• 13. y=a(x+1)(x−2), при 3: 4a=16 ⇒ a=4. y=4x²−4x−8; y(3)=16.
• 14. y=a(x+2)²; 4a=−20 ⇒ a=−5. y=−5x²−20x−20; ветви вниз, x=−2 двукратный.
• 15. −a=2 ⇒ a=−2; y=−2(x−2)(x−4)=−2x²+12x−16. Ось x=3, вершина (3;2).
• 16. y=a(x−2)(x−5) даёт y(0)=10a. Условие 0=10a требует a=0, что уже не квадратичная функция. Условия несовместимы.

Почему ответ может быть неоднозначным или отсутствовать

В задании 9 заданы лишь корни. Параболы y=(x−1)(x−3) и y=5(x−1)(x−3) пересекают Ox в тех же точках, но имеют разные значения между корнями. Чтобы восстановить функцию единственным образом, недостаточно перечислить нули: нужен независимый параметр масштаба. При этом в задании 16 дополнительная информация противоречит самим корням. Условие «a=0» не устраняет противоречия, потому что определение квадратичной функции требует a≠0.

Контрольный алгоритм: 1) запишите множители по корням с неизвестным a; 2) подставьте точку, значение в вершине или известный старший коэффициент; 3) решите линейное уравнение относительно a; 4) раскройте скобки, только если требуется стандартный вид; 5) обратно проверьте оба корня и третье условие. Если появился десятичный коэффициент, не округляйте его до проверки: в этом практикуме дроби точные.

Подсказка для самопроверки: вычисление y(0) особенно удобно, если оба корня отличны от нуля, так как произведение (−r₁)(−r₂) равно r₁r₂. Если один из корней равен нулю, то y(0)=0 при любом допустимом a — для определения коэффициента выбирайте точку с другим x. Для двукратного корня график касается оси Ox и не меняет знак вблизи корня.

Оценка работы: 14–16 верных решений свидетельствуют об уверенном владении методом; при 11–13 повторите раскрытие скобок и обратную подстановку. Если допущено больше ошибок, отдельно выполните 1, 4, 5 и 9 как четыре принципиально разных случая.

Обратная проверка: два корня и третье условие

Если дополнительная точка совпадает с одним из заданных нулей, её значение должно быть нулём. Такое условие лишь подтверждает уже известный корень и не помогает найти множитель a. Если точка на известном нуле имеет ненулевую ординату, условий нельзя удовлетворить одновременно. В задаче 16 похожее противоречие возникает при x=0, хотя 0 не входит в список корней: из указанных нулей и условия y(0)=0 следовало бы существование третьего корня, невозможного для ненулевого квадратичного многочлена.

Как выполнять обратную подстановку аккуратно

Для удобства сначала проверяйте результат в факторизованной форме, а затем в раскрытой. Например, при нулях 1/2 и 2 верна запись 6(x−1/2)(x−2). Подстановка x=1/2 мгновенно обнуляет первый множитель, а подстановка x=2 — второй. Раскрытие даёт 6x²−15x+6. Проверка при x=0 показывает 6, что совпадает с условием. Если при раскрытии потерять коэффициент перед средним членом, значение в третьей точке может ещё совпасть, но один из корней перестанет быть нулём.

Вершина параболы с двумя различными корнями находится на оси симметрии x=(r₁+r₂)/2. Это не определяет высоту вершины без a, но даёт удобную точку для задания дополнительного условия. В пункте 7 середина между 2 и 6 равна 4: данное значение y(4)=−8 превращает поиск коэффициента в одно простое линейное уравнение. При двукратном корне вершина лежит прямо на оси Ox.

Учителю удобно проверять не только конечные коэффициенты, но и целесообразность выбранного представления. Если ученик сразу раскрыл многочлен, он рискует допустить арифметическую ошибку ещё до определения a. Запись с множителями сохраняет смысл исходного условия, поэтому она предпочтительна при решении и при доказательстве того, что найденные корни действительно являются нулями функции.