Поиск посторонней пары с ограничением на положительные корни — задания с разбором, 9 класс

Цель углублённого практикума. Для системы с нелинейными уравнениями найти все кандидаты (x; y), восстановить их из исходных уравнений и отбросить пары, которые нарушают дополнительные условия x > 0 и y > 0. Пары упорядоченные: (2; 5) и (5; 2) различаются, даже если одинаково выглядят в уравнениях с суммой и произведением.

Что именно называют посторонней парой

Решение системы обязано одновременно удовлетворять каждому исходному уравнению и ограничениям на переменные. После подстановки, возведения в квадрат или разложения на множители появляются кандидаты. Часть кандидатов удовлетворяет уравнениям, но не условию положительности; такие пары посторонние относительно задачи с ограничениями. При возведении в квадрат может появиться ещё более серьёзная ошибка: корень удовлетворяет преобразованному уравнению, но не исходному. Эти две причины отказа важно различать.

Для системы x + y = s, xy = p числа x и y являются корнями уравнения t² − st + p = 0. Дискриминант D = s² − 4p. Если D < 0, вещественных пар нет. Если D ≥ 0, выпишите оба значения t и обе упорядоченные пары, а затем проверьте положительность и исходную систему. Равенство D=0 даёт единственную пару с совпадающими координатами.

Уровень I — быстрый отбор по сумме и произведению

В каждом задании решите систему x + y = s; xy = p; x > 0; y > 0. Выпишите ВСЕ вещественные кандидаты, укажите принятые и отброшенные пары. Не засчитывайте пару, в которой хотя бы одна координата равна нулю.

Задание 1. Даны s = 9, p = 20. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 2. Даны s = 3, p = -10. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 3. Даны s = 8, p = 15. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 4. Даны s = 1, p = -12. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 5. Даны s = 7, p = 0. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 6. Даны s = -7, p = 12. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 7. Даны s = 10, p = 16. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 8. Даны s = 12, p = 35. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 9. Даны s = 4, p = 4. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Задание 10. Даны s = 0, p = -16. Какие пары подходят при строгой положительности обеих координат? Объясните судьбу каждого кандидата.

Промежуточная самопроверка

Если p < 0, координаты имеют разные знаки, поэтому пара с x > 0 и y > 0 невозможна без вычисления дискриминанта. Если p = 0, хотя бы одна координата равна нулю, а строгая положительность снова невозможна. При s ≤ 0 двух положительных чисел также не бывает. Эти наблюдения быстро обнаруживают посторонние решения, но полное оформление требует исходной проверки.

Уровень II — разность вместо суммы

Теперь система имеет вид x − y = d; xy = p при x > 0, y > 0. Подстановка x = y + d даёт y² + dy − p = 0. После нахождения y восстановите x = y + d: перепутать координаты здесь особенно легко. В ответ включайте только пары, которые выдержали оба теста.

Задание 11. Система x − y = 2, xy = 15, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 12. Система x − y = -3, xy = 10, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 13. Система x − y = 5, xy = -6, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 14. Система x − y = -2, xy = 0, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 15. Система x − y = 0, xy = 9, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 16. Система x − y = 4, xy = 12, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 17. Система x − y = -5, xy = 14, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Задание 18. Система x − y = 3, xy = -10, x > 0, y > 0. Найдите кандидатов и объясните, какая пара (если она есть) законна.

Уровень III — проверка после возведения в квадрат

В последних заданиях важно увидеть две разные причины «лишнего решения». Если применили равенство √A = B, то исходно требуется A ≥ 0 и B ≥ 0. Возведение обеих частей в квадрат оставляет уравнение A = B², которое само по себе не гарантирует B ≥ 0. Даже если x положителен, пару необходимо проверить в исходном радикальном равенстве.

Задание 19. Решите √(x + 3) = x − 3 и y = x + 1 при x > 0 и y > 0. Назовите обе пары, которые появятся после возведения в квадрат.

Задание 20. Решите √(x + 2) = x − 4 и y = x + 2 при x > 0 и y > 0. Докажите отказ для лишней пары подстановкой.

Задание 21. Для системы x² + y² = 25, x + y = 7, x > 0, y > 0 найдите все упорядоченные пары. Проверьте полученное произведение xy.

Задание 22. Для системы x² + y² = 34, x + y = 2, x > 0, y > 0 найдите вещественные пары и причину отбрасывания.

Задание 23. Для системы x² + y² = 41, x + y = 9, x > 0, y > 0 восстановите положительные пары и проверьте оба уравнения.

Задание 24. Ученик получил для системы x + y = 6 и xy = 8 пары (2; 4), (4; 2) и (−2; −4), заявив, что «знаки можно поменять без изменения произведения». Исправьте список при x > 0, y > 0.

Разбор сложных случаев — как возникали лишние пары

Решайте задачи до просмотра ключа. Для заданий 1–18 отдельно выпишите пары до отбора — иначе не видно, на каком этапе появляется лишнее решение. В заданиях 19–20 отсутствие условия x−3 ≥ 0 или x−4 ≥ 0 делает возведение в квадрат неравносильным. Для задач 21–23 используйте тождество (x+y)² = x²+y²+2xy.

Ответы: все уровни

1. D=9²−4·(20)=1; t₁=5, t₂=4. Кандидаты: (4; 5), (5; 4). Ответ: (4; 5), (5; 4). Подстановка подтверждает оба равенства и положительность.

2. D=3²−4·(-10)=49; t₁=5, t₂=-2. Кандидаты: (-2; 5), (5; -2). Ответ: нет допустимых пар. Все принятые пары удовлетворяют сумме и произведению; отрицательные и нулевые координаты отбрасываем.

3. D=8²−4·(15)=4; t₁=5, t₂=3. Кандидаты: (3; 5), (5; 3). Ответ: (3; 5), (5; 3). Подстановка подтверждает оба равенства и положительность.

4. D=1²−4·(-12)=49; t₁=4, t₂=-3. Кандидаты: (-3; 4), (4; -3). Ответ: нет допустимых пар. Все принятые пары удовлетворяют сумме и произведению; отрицательные и нулевые координаты отбрасываем.

5. D=7²−4·(0)=49; t₁=7, t₂=0. Кандидаты: (0; 7), (7; 0). Ответ: нет допустимых пар. Все принятые пары удовлетворяют сумме и произведению; отрицательные и нулевые координаты отбрасываем.

6. D=-7²−4·(12)=1; t₁=-3, t₂=-4. Кандидаты: (-4; -3), (-3; -4). Ответ: нет допустимых пар. Все принятые пары удовлетворяют сумме и произведению; отрицательные и нулевые координаты отбрасываем.

7. D=10²−4·(16)=36; t₁=8, t₂=2. Кандидаты: (2; 8), (8; 2). Ответ: (2; 8), (8; 2). Подстановка подтверждает оба равенства и положительность.

8. D=12²−4·(35)=4; t₁=7, t₂=5. Кандидаты: (5; 7), (7; 5). Ответ: (5; 7), (7; 5). Подстановка подтверждает оба равенства и положительность.

9. D=4²−4·(4)=0; t₁=2, t₂=2. Кандидаты: (2; 2). Ответ: (2; 2). Подстановка подтверждает оба равенства и положительность.

10. D=0²−4·(-16)=64; t₁=4, t₂=-4. Кандидаты: (-4; 4), (4; -4). Ответ: нет допустимых пар. Все принятые пары удовлетворяют сумме и произведению; отрицательные и нулевые координаты отбрасываем.

11. Подстановка x=y+(2) приводит к y²+(2)y−(15)=0, D=64. Кандидаты: (-3; -5), (5; 3). (5; 3). Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

12. Подстановка x=y+(-3) приводит к y²+(-3)y−(10)=0, D=49. Кандидаты: (-5; -2), (2; 5). (2; 5). Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

13. Подстановка x=y+(5) приводит к y²+(5)y−(-6)=0, D=1. Кандидаты: (2; -3), (3; -2). допустимых пар нет. Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

14. Подстановка x=y+(-2) приводит к y²+(-2)y−(0)=0, D=4. Кандидаты: (-2; 0), (0; 2). допустимых пар нет. Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

15. Подстановка x=y+(0) приводит к y²+(0)y−(9)=0, D=36. Кандидаты: (-3; -3), (3; 3). (3; 3). Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

16. Подстановка x=y+(4) приводит к y²+(4)y−(12)=0, D=64. Кандидаты: (-2; -6), (6; 2). (6; 2). Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

17. Подстановка x=y+(-5) приводит к y²+(-5)y−(14)=0, D=81. Кандидаты: (-7; -2), (2; 7). (2; 7). Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

18. Подстановка x=y+(3) приводит к y²+(3)y−(-10)=0, D=-31. Кандидаты: нет вещественных кандидатов. допустимых пар нет. Подставляем в x−y и xy; затем отбрасываем всё с x ≤ 0 или y ≤ 0.

19. После возведения в квадрат: x + 3 = (x − 3)², то есть (x − 1)(x − 6) = 0. Кандидаты (1; 2) и (6; 7). Для x=1 имеем √4=2, а x−3=−2; равенство ложно. Для x=6: √9=3 и 6−3=3. Ответ (6; 7).

20. После возведения в квадрат: x+2=(x−4)², откуда (x−2)(x−7)=0. Кандидаты (2; 4), (7; 9). При x=2: √4=2, но x−4=−2; это посторонняя пара из-за возведения в квадрат. При x=7: √9=3 и 7−4=3. Ответ (7; 9).

21. Из (x+y)²=x²+y²+2xy получаем 49=25+2xy, то есть xy=12. Числа x,y — корни t²−7t+12=0: 3 и 4. (3; 4) и (4; 3). Проверка: 9+16=25, сумма 7.

22. Произведение xy=(2²−34)/2=−15. Корни t²−2t−15=0 равны 5 и −3. Кандидаты (5; −3) и (−3; 5) удовлетворяют двум равенствам, но каждая содержит отрицательную координату. Ответ: нет допустимых пар.

23. xy=(81−41)/2=20; t²−9t+20=0 ⇒ t=4 или 5. (4; 5) и (5; 4); 4²+5²=41, 4+5=9. Обе координаты положительны.

24. При смене обоих знаков сумма становится −6 вместо 6. Значит (−2; −4) не удовлетворяет первому уравнению. Ответ (2; 4) и (4; 2). Обе пары дают сумму 6, произведение 8 и положительные координаты.

Проверка ошибок и критерии

Контрольный список для каждой пары: (1) вычислены обе координаты; (2) каждая исходная формула действительно верна; (3) x строго больше нуля; (4) y строго больше нуля; (5) при радикале знак правой части неотрицателен. Не смешивайте «корень преобразованного квадратного уравнения» и «решение исходной системы». Порядок координат тоже часть ответа.

За 1–18 начисляйте по 1 баллу за полный список кандидатов и ещё по 1 за верный отбор. За 19–24 — по 2 балла за вычисление и отдельный балл за обратную подстановку. Итого 54 балла. Если ошибка возникает в положительности, вернитесь к заданиям 2, 5, 6, 13 и 14; если возникает после квадратов, перепроверьте 19 и 20.

Практическая привычка: не удаляйте вычисленную пару из черновика молча. Запишите рядом, какое именно требование она нарушила. Даже верный итоговый ответ без объяснения пропуска не показывает, что ученик понял роль ограничений области допустимых значений. В системе с несколькими уравнениями обратная проверка должна охватывать каждое из них, а не только последнее использованное при подстановке.

Наконец, условие x > 0 и y > 0 гораздо сильнее, чем xy > 0: положительное произведение получают и два отрицательных множителя. Проверка по одному произведению никогда не заменяет проверку обеих координат. Равным образом x+y > 0 не делает каждую координату положительной. Используйте оба условия вместе, когда они заданы в исходной задаче.