Построение знаковой схемы при совпадающих корнях — диагностика ошибок, 9 класс

Диагностика ошибок, 9 класс. Если квадратный трёхчлен имеет совпадающие корни, его дискриминант равен нулю, а функция представляется как a(x−h)². По обе стороны от единственного корня h знак одинаков и равен знаку a. В самом h функция равна нулю. Ошибка многих решений — автоматически «поменять знак», как при двух различных простых корнях.

Два контрастных варианта

Вариант А — ветви направлены вверх: a > 0. Вариант Б — вниз: a < 0. Знак при переходе через двойной корень не меняется в обоих вариантах. Для каждого неравенства укажите одну из форм: вся ℝ, пустое множество, одно число или прямая без одной точки. Решения вынесены после двух наборов.

Задание 1. Для f(x)=1(x−(2))² постройте знаковую схему и решите f(x) > 0. Покажите, что происходит при x=2.

Задание 2. Для f(x)=3(x−(-1))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≥ 0. Покажите, что происходит при x=-1.

Задание 3. Для f(x)=2(x−(4))² постройте знаковую схему и решите f(x) < 0. Покажите, что происходит при x=4.

Задание 4. Для f(x)=5(x−(0))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≤ 0. Покажите, что происходит при x=0.

Задание 5. Для f(x)=1(x−(-3))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≥ 0. Покажите, что происходит при x=-3.

Задание 6. Для f(x)=4(x−(5))² постройте знаковую схему и решите f(x) > 0. Покажите, что происходит при x=5.

Задание 7. Для f(x)=3(x−(1))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≤ 0. Покажите, что происходит при x=1.

Задание 8. Для f(x)=2(x−(-4))² постройте знаковую схему и решите f(x) < 0. Покажите, что происходит при x=-4.

Вариант Б — меняем направление ветвей

Проверьте, почему ответы теперь противоположны некоторым ответам варианта А. Особенно внимательно смотрите, включается ли точка нуля при нестрогом знаке.

Задание 9. Для f(x)=-1(x−(3))² постройте знаковую схему и решите f(x) < 0. Покажите, что происходит при x=3.

Задание 10. Для f(x)=-2(x−(-2))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≤ 0. Покажите, что происходит при x=-2.

Задание 11. Для f(x)=-3(x−(5))² постройте знаковую схему и решите f(x) > 0. Покажите, что происходит при x=5.

Задание 12. Для f(x)=-4(x−(1))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≥ 0. Покажите, что происходит при x=1.

Задание 13. Для f(x)=-2(x−(0))² постройте знаковую схему и решите f(x) < 0. Покажите, что происходит при x=0.

Задание 14. Для f(x)=-5(x−(-1))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≤ 0. Покажите, что происходит при x=-1.

Задание 15. Для f(x)=-1(x−(6))² постройте знаковую схему и решите f(x) ≥ 0. Покажите, что происходит при x=6.

Задание 16. Для f(x)=-3(x−(2))² постройте знаковую схему и решите f(x) > 0. Покажите, что происходит при x=2.

Взаимная проверка — почему не переворачиваем знаки

Сравните задания 1 и 9: обе функции обращаются в нуль лишь в одной точке, но одна положительна вне неё, а другая отрицательна. Важно не само число h, а множитель a и чётная кратность корня. У квадрата (x−h)² знак никогда не «−», поэтому при положительном a отрицательные участки невозможны.

Подробный ключ ко всем шестнадцати заданиям

1. D=0, двойной корень x=2. В точке x=2 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для >0 получаем (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

2. D=0, двойной корень x=-1. В точке x=-1 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для ≥0 получаем ℝ.

3. D=0, двойной корень x=4. В точке x=4 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для <0 получаем ∅.

4. D=0, двойной корень x=0. В точке x=0 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для ≤0 получаем {0}.

5. D=0, двойной корень x=-3. В точке x=-3 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для ≥0 получаем ℝ.

6. D=0, двойной корень x=5. В точке x=5 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для >0 получаем (−∞; 5) ∪ (5; +∞).

7. D=0, двойной корень x=1. В точке x=1 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для ≤0 получаем {1}.

8. D=0, двойной корень x=-4. В точке x=-4 значение 0, вне её знак + (положителен множитель a). Для <0 получаем ∅.

9. D=0, двойной корень x=3. В точке x=3 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для <0 получаем (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

10. D=0, двойной корень x=-2. В точке x=-2 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для ≤0 получаем ℝ.

11. D=0, двойной корень x=5. В точке x=5 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для >0 получаем ∅.

12. D=0, двойной корень x=1. В точке x=1 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для ≥0 получаем {1}.

13. D=0, двойной корень x=0. В точке x=0 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для <0 получаем (−∞; 0) ∪ (0; +∞).

14. D=0, двойной корень x=-1. В точке x=-1 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для ≤0 получаем ℝ.

15. D=0, двойной корень x=6. В точке x=6 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для ≥0 получаем {6}.

16. D=0, двойной корень x=2. В точке x=2 значение 0, вне её знак − (отрицателен множитель a). Для >0 получаем ∅.

Разбор типичных неправильных схем

Первая ошибка: для (x−2)² > 0 берут только x > 2. Но слева от 2 квадрат тоже строго положителен; правильный ответ (−∞;2) ∪ (2;+∞). Вторая: для −3(x−5)² ≥ 0 отмечают всю ось, забывая знак минуса; правильно только {5}.

Третья ошибка: для (x−4)² < 0 рисуют внутренний отрицательный интервал вокруг 4. Никакого отрицательного участка нет, ответ пуст. Четвёртая: при (x+1)² ≤ 0 говорят «нет решений», хотя точка x=−1 даёт равенство нулю и должна быть включена.

Для взаимной проверки ученики меняются решениями разных вариантов и не только сравнивают множества, но и называют знак на двух тестовых точках: h−1 и h+1. Подстановка показывает одинаковый знак с обеих сторон и нулевое значение в h. Отсутствие перемены знака важнее длины промежутка: этим метод отличают от случая двух разных корней.

Оценка: по 1 баллу за корень, знак и ответ — всего 48. Повторите задачи 4, 8, 12 и 15: нестрогое неравенство иногда даёт единственную точку.