Построение знаковой схемы для произведения двух линейных множителей: тренажёр для 9 класса

Тезис для проверки. «У произведения двух линейных множителей знак всегда меняется при каждом нуле». Не всегда: если множители обращаются в нуль в одной и той же точке, корень двойной, и знак не меняется. Чтобы доказать решение, важно установить знак коэффициента перед x² и кратности корней, а не просто расставить два числа на оси.

Почему метод знаков работает

Для f(x)=(px+b)(qx+d), где p≠0, q≠0, найдите нули обоих множителей. На промежутках без нулей каждый линейный множитель сохраняет знак, а значит сохраняет знак и их произведение. Пересечение одного простого нуля меняет знак ровно одного множителя; пересечение совпавшего нуля меняет знаки обоих, поэтому знак произведения сохраняется. Этот вывод следует из непрерывности линейных функций и правил умножения знаков.

Правило границы: при > или < нулевые точки не входят в ответ; при ≥ или ≤ входят. Если коэффициент p·q отрицателен, знаки вне крайних корней отрицательны, а между ними положительны. Удобный независимый контроль — подставить одну пробную точку в каждый промежуток и посмотреть фактический знак.

Часть I — обоснуйте схему, а не угадывайте ответ

Задание 1. Исследуйте f(x)=(2x − 6)(-2x + 8) > 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 2. Исследуйте f(x)=(-1x + 5)(3x + 6) ≤ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 3. Исследуйте f(x)=(3x + 3)(2x − 12) ≥ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 4. Исследуйте f(x)=(-2x − 8)(1x − 3) < 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 5. Исследуйте f(x)=(1x + 5)(-4x + 4) > 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 6. Исследуйте f(x)=(-3x + 6)(-2x + 14) ≥ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 7. Исследуйте f(x)=(2x + 12)(3x + 0) < 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 8. Исследуйте f(x)=(4x − 4)(-1x − 3) ≤ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 9. Исследуйте f(x)=(-2x + 10)(2x − 10) > 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 10. Исследуйте f(x)=(3x + 12)(3x + 12) ≥ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 11. Исследуйте f(x)=(-1x + 0)(5x − 40) < 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 12. Исследуйте f(x)=(2x − 14)(-3x + 6) ≤ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 13. Исследуйте f(x)=(-4x − 8)(1x − 6) > 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Задание 14. Исследуйте f(x)=(5x − 15)(-2x − 2) ≥ 0. Найдите нули множителей, определите знаки всех промежутков и объясните включение границ.

Часть II — что меняется в особых случаях

Если один коэффициент перед x отрицательный, он влияет на знак выражения на каждом промежутке. Умножение исходного неравенства на −1 меняет его направление; однако просто раскрытие скобок и приведение подобного знака не меняет. Старайтесь не переходить к общему квадратному уравнению, когда множители уже даны: потеря отрицательного коэффициента чаще возникает именно на лишнем промежуточном шаге.

В заданиях 9–10 специально присутствуют совпадающие корни. Возьмите пробные точки по обе стороны от корня: знак одинаков. В задании 7 один из корней — ноль; он рассматривается как любая другая граница и не «выпадает» из схемы. Если в неравенстве стоит ≥0, точки, где один множитель равен нулю, включены независимо от знака второго множителя.

Доказательные ответы и проверка интервалов

1. p·q=-4; Нули 3, 4; знаки на (−∞; 3), (3; 4), (4; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (3; 4).

2. p·q=-3; Нули -2, 5; знаки на (−∞; -2), (-2; 5), (5; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; -2] ∪ [5; +∞).

3. p·q=6; Нули -1, 6; знаки на (−∞; -1), (-1; 6), (6; +∞) равны +, −, +. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; -1] ∪ [6; +∞).

4. p·q=-2; Нули -4, 3; знаки на (−∞; -4), (-4; 3), (3; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; -4) ∪ (3; +∞).

5. p·q=-4; Нули -5, 1; знаки на (−∞; -5), (-5; 1), (1; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (-5; 1).

6. p·q=6; Нули 2, 7; знаки на (−∞; 2), (2; 7), (7; +∞) равны +, −, +. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; 2] ∪ [7; +∞).

7. p·q=6; Нули -6, 0; знаки на (−∞; -6), (-6; 0), (0; +∞) равны +, −, +. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (-6; 0).

8. p·q=-4; Нули -3, 1; знаки на (−∞; -3), (-3; 1), (1; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; -3] ∪ [1; +∞).

9. p·q=-4; Оба множителя обращаются в нуль при x=5: корень двойной, знак − с обеих сторон, в корне 0. Ответ: ∅.

10. p·q=9; Оба множителя обращаются в нуль при x=-4: корень двойной, знак + с обеих сторон, в корне 0. Ответ: ℝ.

11. p·q=-5; Нули 0, 8; знаки на (−∞; 0), (0; 8), (8; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; 0) ∪ (8; +∞).

12. p·q=-6; Нули 2, 7; знаки на (−∞; 2), (2; 7), (7; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (−∞; 2] ∪ [7; +∞).

13. p·q=-4; Нули -2, 6; знаки на (−∞; -2), (-2; 6), (6; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: (-2; 6).

14. p·q=-10; Нули -1, 3; знаки на (−∞; -1), (-1; 3), (3; +∞) равны −, +, −. Нули включаются только при нестрогом знаке. Ответ: [-1; 3].

Самостоятельное обоснование: четыре вопроса к каждому ответу

Первый вопрос — почему исходный квадратный трёхчлен не обращается в ноль вне найденных корней? Потому что произведение не равно нулю, когда оба множителя ненулевые. Второй — почему знак не меняется внутри промежутка? Каждый множитель линейный и там не имеет нуля; его знак остаётся постоянным.

Третий вопрос — почему при переходе через один простой корень знак меняется? Один множитель меняет знак, другой в этой точке не равен нулю и сохраняет знак. Четвёртый — почему двойной корень исключение? Оба множителя меняют знак одновременно, и произведение двух минусов даёт прежний знак. Таким образом знак определяется математически, а не по рисунку «на глаз».

Условие задачи требует не только назвать промежуток, но и обосновать знак. Для каждого из 14 заданий отметьте в черновике три зоны, где они существуют: слева от меньшего корня, между корнями, справа от большего. Для двойного корня отметьте две зоны и отдельно точку равенства. В результате не должно появиться мнимых или дополнительных точек разрыва: выражение всюду определено.

Проверка на частый сбой: если p·q < 0 и корни различны, произведение будет положительно между корнями, а не снаружи. Если p·q > 0, ситуация обратная. Дисциплина знаковой схемы экономит время: один раз отметив коэффициент и корни, вы получаете и строгие, и нестрогие ответы для того же выражения.

Критерий: по 1 баллу за корни, 1 за обоснование знаков, 1 за выбор интервалов и 1 за корректные круглые или квадратные скобки. Максимум 56 баллов. Ошибка только в скобке менее существенна, чем неверный знак, но может изменить множество решений — особенно в заданиях 9–10 с совпадающими нулями.