Поиск ошибки при использовании корней при совпадающих корнях — тематические карточки для 9 класса

Содержание статьи4 раздела

Когда два корня совпали: проверяем знак, а не «два промежутка»

Цель: распознать двойной корень квадратного трёхчлена, найти неверный переход от уравнения к неравенству и обосновать ответ. Для любого действительного x квадрат (x − r)2 неотрицателен; в нуль он обращается только при x = r. Наличие корня не означает, что слева и справа от него знак различается. Именно это заблуждение проверяют карточки.

Вид Знак при x ≠ r Нуль Ключевое следствие
a(x − r)2, a > 0 положительный x = r строго > 0: все числа, кроме r
a(x − r)2, a < 0 отрицательный x = r неравенство ≥ 0: только r
a(x − r)2 ≥ 0, a > 0 плюс или нуль x = r решение — вся числовая прямая
a(x − r)2 < 0, a > 0 не бывает x = r решений нет

Правильный порядок проверки: (1) привести выражение к квадрату с множителем; (2) определить знак множителя; (3) учесть строгость; (4) подставить корень и число рядом с ним. Например, (x − 4)2 ≤ 0 даёт ровно x = 4: квадрат не может быть отрицательным.

Карточки: найдите ошибку в ответе ученика

  1. Решите (x − 2)2 > 0. Ученик записал: ℝ. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  2. Решите −3(x + 1)2 ≥ 0. Ученик записал: ℝ. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  3. Решите 4(x − 3)2 < 0. Ученик записал: ℝ ∖ {3}. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  4. Решите −2(x − 5)2 ≤ 0. Ученик записал: ℝ ∖ {5}. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  5. Решите 5(x − 1)2 ≥ 0. Ученик записал: ℝ ∖ {1}. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  6. Решите −4(x + 2)2 < 0. Ученик записал: ℝ. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  7. Решите 2(x − 6)2 ≤ 0. Ученик записал: ℝ. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  8. Решите −5(x − 4)2 > 0. Ученик записал: ℝ ∖ {4}. В чём ошибка и какое множество будет верным?

Усложнение: отрицательные множители и нулевая граница

  1. Решите 3(x + 3)2 < 0. Ученик записал: {−3}. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  2. Решите −2(x − 2)2 ≥ 0. Ученик записал: ∅. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  3. Решите 4(x + 4)2 > 0. Ученик записал: ℝ. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  4. Решите −3(x − 6)2 ≤ 0. Ученик записал: {6}. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  5. Решите 6(x + 5)2 ≥ 0. Ученик записал: {−5}. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  6. Решите −(x − 7)2 < 0. Ученик записал: ∅. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  7. Решите 7(x − 0)2 ≤ 0. Ученик записал: ∅. В чём ошибка и какое множество будет верным?
  8. Решите −6(x − 8)2 > 0. Ученик записал: ℝ ∖ {8}. В чём ошибка и какое множество будет верным?

Ключ с объяснениями для самопроверки

  1. ℝ ∖ {2}. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = 2 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  2. {−1}. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = −1 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  3. ∅. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = 3 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  4. ℝ. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = 5 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  5. ℝ. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = 1 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  6. ℝ ∖ {−2}. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = −2 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  7. {6}. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = 6 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  8. ∅. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = 4 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  9. ∅. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = −3 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  10. {2}. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = 2 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  11. ℝ ∖ {−4}. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = −4 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  12. ℝ. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = 6 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  13. ℝ. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = −5 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  14. ℝ ∖ {7}. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = 7 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.
  15. {0}. Множитель перед квадратом положителен, поэтому вне корня выражение положительно. При x = 0 левая часть равна нулю; границу следует включить.
  16. ∅. Знак коэффициента перед квадратом отрицательный, поэтому вне корня выражение отрицательно. При x = 8 левая часть равна нулю; при строгом знаке равенство исключается.

Контрольный вопрос: почему нельзя применять правило «поменять знак на соседнем промежутке»? При корне чётной кратности знак не меняется. В задачах 2, 4, 8 и 12 полезно дополнительно проверить число x = r + 1: подстановка сразу выявляет ошибочный знак.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым