Восстановление координаты вершины для прямоугольника на координатной плоскости: тематические карточки для 9 класса

Задача-наблюдение: недостающая вершина существует не всегда

Даны три последовательные вершины прямоугольника A(−2; 1), B(1; 3), C(−1; 6). Координаты четвёртой вершины D можно найти по формуле D = A + C − B, то есть D(−4; 4). Но перед вычислением важно убедиться, что угол ABC прямой. Векторы BA = (−3; −2) и BC = (−2; 3), их скалярное произведение 6 − 6 = 0. Следовательно, соседние стороны перпендикулярны и построение действительно даёт прямоугольник.

Исследуйте, почему D = A + C − B: у параллелограмма AD = BC, поэтому D − A = C − B. Если соседние стороны перпендикулярны, этот параллелограмм — прямоугольник. Дополнительная проверка: середины диагоналей AC и BD совпадают. Одной формулы для параллелограмма недостаточно, если угол не прямой.

Условие перпендикулярности проверяется до применения формулы. Для двух векторов с координатами (p; q) и (r; s) скалярное произведение равно pr + qs. Если оно нулевое и оба вектора ненулевые, угол между ними прямой. Восьмиклассник может проверить ту же идею через теорему Пифагора: сумма квадратов длин BA и BC равна квадрату длины AC. Это не новый алгоритм получения D, а независимая проверка верности построения.

Если три вершины заданы в порядке B, C, D, нельзя механически применять выражение A + C − B с неизвестным A. Перенесите известные векторы: A = B + D − C. Восстанавливать требуется обе координаты, а не только абсциссу. Для наклонённого прямоугольника стороны вовсе не обязаны идти параллельно координатным осям: условие, например, (2; 1) · (−1; 2) = 0 достаточно для прямого угла.

Сформулируйте правило самостоятельно

1. Чем отличаются соседние вершины A, B, C от любых трёх вершин прямоугольника? Укажите обязательный порядок обхода.
2. Запишите координаты векторов BA и BC и условие BA · BC = 0.
3. Если известны B, C и D, выведите обратную формулу для A и объясните, как проверять прямой угол при C.

Контрпример: A(0; 0), B(2; 1), C(5; 4). Формальное правило даёт D(3; 3), но BA = (−2; −1), BC = (3; 3), а их скалярное произведение −9. Такой четырёхугольник не является прямоугольником. Поэтому нельзя принимать любой набор трёх точек за подходящий.

Исследовательские карточки: восстановите пропуск и объясните проверку

1. A(2; 2), B(0; 1), C(−1; 3) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
2. A(−1; 4), B(−4; 2), C(−6; 5) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
3. A(6; 2), B(5; −1), C(2; 0) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
4. A(0; 6), B(2; 4), C(5; 7) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
5. A(−2; −1), B(−6; −2), C(−7; 2) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
6. A(3; −1), B(1; −5), C(−3; −3) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
7. A(2; 2), B(3; 0), C(−1; −2) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.

Новые положения: наклонённые прямоугольники и обратная задача

8. A(1; 4), B(−2; 7), C(1; 10) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
9. A(1; −1), B(−1; −4), C(−4; −2) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
10. A(2; 5), B(6; 3), C(7; 5) — соседние вершины. Восстановите D, проверьте прямой угол ABC и совпадение середин диагоналей.
11. B(2; −6), C(1; −3), D(4; −2) — соседние вершины. Найдите A; проверьте, что BC и CD перпендикулярны.
12. B(−5; 5), C(−2; 7), D(0; 4) — соседние вершины. Найдите A; проверьте, что BC и CD перпендикулярны.
13. A(0; 0), B(2; 1), C(5; 4) по порядку. Ученик утверждает, что всегда достаточно D = A + C − B. Может ли получиться прямоугольник? Докажите.
14. A(−1; 2), B(3; 4), C(6; 9) по порядку. Ученик утверждает, что всегда достаточно D = A + C − B. Может ли получиться прямоугольник? Докажите.

Ключ решений и геометрическое обоснование

1. D(1; 4); D = A + C − B. BA = (2; 1), BC = (−1; 2), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (0.5; 2.5).
2. D(−3; 7); D = A + C − B. BA = (3; 2), BC = (−2; 3), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (−3.5; 4.5).
3. D(3; 3); D = A + C − B. BA = (1; 3), BC = (−3; 1), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (4.0; 1.0).
4. D(3; 9); D = A + C − B. BA = (−2; 2), BC = (3; 3), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (2.5; 6.5).
5. D(−3; 3); D = A + C − B. BA = (4; 1), BC = (−1; 4), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (−4.5; 0.5).
6. D(−1; 1); D = A + C − B. BA = (2; 4), BC = (−4; 2), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (0.0; −2.0).
7. D(−2; 0); D = A + C − B. BA = (−1; 2), BC = (−4; −2), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (0.5; 0.0).
8. D(4; 7); D = A + C − B. BA = (3; −3), BC = (3; 3), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (1.0; 7.0).
9. D(−2; 1); D = A + C − B. BA = (2; 3), BC = (−3; 2), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (−1.5; −1.5).
10. D(3; 7); D = A + C − B. BA = (−4; 2), BC = (1; 2), скалярное произведение 0. Середины AC и BD равны (4.5; 5.0).
11. A(5; −5); A = B + D − C. BC = (−1; 3), CD = (3; 1), их скалярное произведение 0.
12. A(−3; 2); A = B + D − C. BC = (3; 2), CD = (2; −3), их скалярное произведение 0.
13. Нет: BA = (−2; −1) и BC = (3; 3); BA · BC = −9 ≠ 0. Формула даст вершину параллелограмма, но не прямоугольника.
14. Нет: BA = (−4; −2) и BC = (3; 5); BA · BC = −22 ≠ 0. Формула даст вершину параллелограмма, но не прямоугольника.

Критерии полного ответа: (1) верные координаты неизвестной вершины; (2) показано, какие стороны соседние; (3) проверено скалярное произведение; (4) сделан вывод о прямоугольнике. В заданиях 13–14 координаты D как для параллелограмма не спасают ошибочную исходную гипотезу.