Восстановление координаты вершины при заданном угловом коэффициенте — проверочная работа по математике, 9 класс

Неправильно восстановленная вершина: исправляем пять ошибок

Работа посвящена координатам вершины B треугольника ABC, если известна вершина A и угловой коэффициент прямой AB. Для двух разных точек с x_B ≠ x_A выполняется k = (y_B − y_A)/(x_B − x_A). Поэтому y_B = y_A + k(x_B − x_A). Если ищут x_B, допустимо разделить на k только при k ≠ 0. Точка C задаёт третий угол треугольника, но не меняет наклон стороны AB.

Угловой коэффициент вертикальной прямой не существует. При k = 0 и известной y_B = y_A координата x_B не определяется однозначно; если же y_B ≠ y_A, решения нет. Эти случаи следует обнаруживать до деления.

Разбор неверно выполненной работы

1. A(1; 2), B(5; y), k = 3/2. Ученик написал y = 15/2. Исправьте вычисление и обоснуйте ответ.
2. A(−4; 3), B(x; 9), k = −2. Ученик нашёл x = −3. Исправьте вычисление и обоснуйте ответ.
3. A(2; −1), B(2; y), k = 4. Ученик получил y = 7. Исправьте вычисление и обоснуйте ответ.
4. A(−1; 6), B(5; y), k = 0. Ученик утверждает, что y может быть любым. Исправьте вычисление и обоснуйте ответ.
5. A(0; 5), B(x; 5), k = −1. Ученик записал x = 0. Исправьте вычисление и обоснуйте ответ.

Самостоятельная серия: координата вершины по наклону стороны

6. В треугольнике ABC: A(0; 2), B(4; y), C(−2; 5); угловой коэффициент AB равен 3/2. Найдите y.
7. В треугольнике ABC: A(−3; 4), B(3; y), C(0; 6); угловой коэффициент AB равен −1/2. Найдите y.
8. В треугольнике ABC: A(2; −5), B(7; y), C(−3; 4); угловой коэффициент AB равен 2. Найдите y.
9. В треугольнике ABC: A(1; 3), B(−2; y), C(4; −1); угловой коэффициент AB равен −2. Найдите y.
10. В треугольнике ABC: A(−4; −1), B(2; y), C(5; 8); угловой коэффициент AB равен 1/3. Найдите y.
11. В треугольнике ABC: A(−2; 1), B(x; 7), C(4; 0); наклон AB равен 3/2. Восстановите x.
12. В треугольнике ABC: A(3; −4), B(x; 2), C(5; 5); наклон AB равен −1. Восстановите x.
13. В треугольнике ABC: A(1; 5), B(x; 1), C(4; 0); наклон AB равен 2/3. Восстановите x.
14. В треугольнике ABC: A(−5; 3), B(x; −3), C(4; 2); наклон AB равен −3/2. Восстановите x.
15. В треугольнике ABC: A(2; −2), B(x; 4), C(2; 5); наклон AB равен 1/2. Восстановите x.
16. В треугольнике ABC: A(4; 5), B(0; y), C(1; 0); угловой коэффициент AB равен 0. Найдите y.

Ключ для самопроверки и исправления ошибок

Пять диагностических ошибок

1. y = 8, поскольку y − 2 = (3/2)(5 − 1) = 6. Ученик подставил x_B вместо разности абсцисс и потерял y_A.
2. x = −7, поскольку 9 − 3 = −2(x + 4), x + 4 = −3. Ученик смешал приращение x и конечную координату.
3. Решения нет: x_B − x_A = 0. Нельзя получить конечный k = 4 у вертикальной прямой; при y = −1 точки совпадут.
4. y = 6: нулевой наклон означает горизонтальную прямую AB при разных абсциссах.
5. Решений нет. При x ≠ 0 наклон равен 0, при x = 0 точки совпадают и коэффициент не определён.

Ответы к самостоятельной серии

6. y = 8. Вычисление: 2 + (3/2)·(4 − (0)) = 8; знаменатель x_B − x_A = 4 ≠ 0.
7. y = 1. Вычисление: 4 + (−1/2)·(3 − (−3)) = 1; знаменатель x_B − x_A = 6 ≠ 0.
8. y = 5. Вычисление: −5 + (2)·(7 − (2)) = 5; знаменатель x_B − x_A = 5 ≠ 0.
9. y = 9. Вычисление: 3 + (−2)·(−2 − (1)) = 9; знаменатель x_B − x_A = −3 ≠ 0.
10. y = 1. Вычисление: −1 + (1/3)·(2 − (−4)) = 1; знаменатель x_B − x_A = 6 ≠ 0.
11. x = 2; x_B = −2 + (7 − (1)) / (3/2) = 2. Подстановка даёт исходный коэффициент 3/2.
12. x = −3; x_B = 3 + (2 − (−4)) / (−1) = −3. Подстановка даёт исходный коэффициент −1.
13. x = −5; x_B = 1 + (1 − (5)) / (2/3) = −5. Подстановка даёт исходный коэффициент 2/3.
14. x = −1; x_B = −5 + (−3 − (3)) / (−3/2) = −1. Подстановка даёт исходный коэффициент −3/2.
15. x = 14; x_B = 2 + (4 − (−2)) / (1/2) = 14. Подстановка даёт исходный коэффициент 1/2.
16. y = 5. Вычисление: 5 + (0)·(0 − (4)) = 5; знаменатель x_B − x_A = −4 ≠ 0.

Оценивание: 1 балл за правильное уравнение наклона, 1 за вычисление, 1 за проверку существования углового коэффициента. При восстановлении вершины не забудьте проверить, что три заданные точки не лежат на одной прямой: иначе «треугольник» вырожден. В представленных самостоятельных заданиях вершина C выбрана так, что такого вырождения нет.