Подсчёт подходящих исходов для испытаний с неравновозможными исходами — самостоятельная работа, 9 класс

Метод: исходы и их веса

Число благоприятных исходов — это количество элементарных результатов, попавших в событие. Вероятность при неравных весах равна сумме вероятностей этих результатов. Делить количество подходящих исходов на общее число можно лишь при равновозможных элементарных исходах. В опыте с жетонами заранее определите, считать ли исходом конкретный жетон или название цвета.

Для независимых последовательных опытов каждый элементарный исход — упорядоченная пара. Её вероятность есть произведение весов двух компонентов. Обязательно проверяйте, что сумма вероятностей всей таблицы равна 1.

Уровень I. Отдельные исходы (1–8)

1. Секторный барабан имеет исходы А, Б, В, Г с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8, 1/8. Сколько исходов благоприятно событию «не А»?
2. На том же барабане сколько исходов дают событие «вероятность отдельного исхода меньше 1/4»?
3. Можно ли вычислить вероятность события «Б или В» как 2/4? Найдите правильную вероятность.
4. Монета несимметрична: P(орёл)=3/5, P(решка)=2/5. Сколько благоприятных исходов у события «орёл»?
5. Мешочек: 1 красный, 2 синих и 5 белых одинаковых жетонов. Считайте отдельные жетоны исходами. Сколько исходов благоприятно «синий»?
6. В предыдущем опыте считали лишь цвета: К, С, Б. Сколько исходов «синий или красный»? Почему 2/3 — ошибочная вероятность?
7. Барабан с вероятностями X=0,1; Y=0,2; Z=0,7. У события «не Z» сколько исходов и какая вероятность?
8. Три исхода имеют вероятности 1/6, 1/3, 1/2. Сколько исходов у события с вероятностью 2/3, если оно включает первый и третий?

Уровень II. Парные результаты (9–16)

9. Два независимых датчика: первый выдаёт 0/1, второй А/Б/В. Сколько упорядоченных пар возможно?
10. Для этих датчиков событие «первый = 1» содержит сколько пар?
11. Первый датчик: P(1)=1/4; второй: P(А)=1/2, P(Б)=1/3, P(В)=1/6. Сколько пар с первым = 1 и вторым не А?
12. Сколько пар с первым = 0 либо вторым = В?
13. Требование «оба показания — редкие»: первый = 1 и второй = В. Сколько пар?
14. Исправьте запись «P(второй = Б)=2/6».
15. У события «первый = 1 или второй = А» сколько пар?
16. Сколько пар не удовлетворяют условию «первый = 1 или второй = А»?

Уровень III. Разбор сложных условий (17–24)

17. Первое колесо: красный 1/5, синий 4/5. Второе: звезда 1/10, круг 3/10, треугольник 6/10. Сколько пар «красный и не звезда»?
18. В тех же колёсах сколько пар соответствуют условию «синий или звезда»?
19. Составьте дополнение к событию «синий или звезда» и посчитайте его исходы.
20. Если ученик написал 4/6 для события «синий или звезда», какую ошибку он совершил?
21. Сколько пар «второе = круг или треугольник», независимо от первого результата?
22. В испытании с жетонами массой вероятности 1/2, 1/3, 1/6 событие включает все три исхода. Сколько благоприятных исходов и чему равна P?
23. В выборке из четырёх разных карточек вероятности 1/2, 1/4, 1/8, 1/8. Событие включает две карточки вероятности 1/8. Сколько исходов и P?
24. Может ли событие с одним благоприятным исходом иметь большую вероятность, чем событие с тремя? Обоснуйте на первых четырёх исходах.

Разбор и ключ преподавателя

Уровень I проверяет смысл количества; уровень II — точное перечисление пар; уровень III — дополнение, объединение и проверку неравных весов.

1. 3: Б, В, Г. Вероятность этого события 1/2, но число исходов именно 3.
2. 2: В и Г; сумма вероятностей 1/8 + 1/8 = 1/4.
3. Нет. Подходящих исходов 2, но P(Б или В)=1/4+1/8=3/8, а не 1/2.
4. 1; вероятность равна 3/5, а не 1/2.
5. 2 из 8 равновозможных физических жетонов. P=2/8=1/4.
6. 2 цветовых исхода; P=3/8, потому что цвета неравновозможны.
7. 2 исхода; P=0,1+0,2=0,3.
8. 2; 1/6+1/2=2/3.

Парные исходы

9. 2·3=6 исходов, независимо от вероятностей отдельных показаний.
10. 3: (1,А), (1,Б), (1,В).
11. 2 пары: (1,Б) и (1,В); P=(1/4)(1/3+1/6)=1/8.
12. 4 пары: (0,А),(0,Б),(0,В),(1,В); P=3/4 + (1/4)(1/6)=19/24.
13. 1 пара; P=(1/4)(1/6)=1/24.
14. У события две пары, но P(Б)=1/3. Сумма весов пар: (3/4)(1/3)+(1/4)(1/3)=1/3.
15. 4 пары: (1,А),(1,Б),(1,В),(0,А); P=1/4+1/2−(1/4)(1/2)=5/8.
16. 2: (0,Б),(0,В); их суммарная вероятность 3/8.

Многошаговые задания

17. 2: (красный, круг), (красный, треугольник); P=(1/5)(9/10)=9/50.
18. 4: три синие пары и (красный, звезда); P=4/5+(1/5)(1/10)=41/50.
19. Дополнение — красный и не звезда, две пары; P=9/50.
20. Он применил отношение числа пар ко всем шести, хотя веса пар различаются; P=41/50.
21. 4 пары. P=3/10+6/10=9/10.
22. Три исхода, P=1. Само число 3 не является вероятностью.
23. Два исхода; P=1/8+1/8=1/4.
24. Да: P(А)=1/2, а P(Б или В или Г)=1/2 — равны; если взять распределение 7/10, 1/10, 1/10, 1/10, то один исход имеет 7/10 против 3/10 трёх других.

Проверка метода

В заданиях 11, 12 и 17 умножение допустимо лишь потому, что два используемых механизма независимы. В задании 6 физические жетоны равновозможны, но три цветовых исхода — нет. Это разные модели одного опыта; они дают одинаковую правильную вероятность при правильном подсчёте.

Подробный образец проверки сложного задания

Разберём событие из задания 20 по шагам. Первое колесо имеет два исхода: красный с вероятностью 1/5 и синий с вероятностью 4/5. Второе колесо независимо имеет три исхода с вероятностями 1/10, 3/10 и 6/10. Всего элементарных пар 2·3=6, но их вероятности не равны: например, (синий, треугольник) имеет вероятность (4/5)(6/10)=12/25, а (красный, звезда) — (1/5)(1/10)=1/50.

Событие «синий или звезда» включает три пары с синим первым исходом, а также одну пару «красный, звезда». Это четыре благоприятные пары. Вероятность события вычислим двумя путями. Через дополнение: не наступило ни синее, ни звезда, то есть выпало красное и не звезда; вероятность дополнения (1/5)(9/10)=9/50. Поэтому искомая вероятность 1−9/50=41/50. Через объединение: 4/5 + 1/10 − (4/5)(1/10)=41/50. Два ответа совпали — важная проверка.

Почему 4/6 неверно? Доля благоприятных пар среди шести сработала бы, если бы все шесть пар имели одинаковую вероятность 1/6. Здесь это не так: один синий сектор гораздо вероятнее красного, а размеры частей второго колеса также неравны. Если пропустить этот шаг, даже правильно пересчитанные благоприятные исходы не дают правильную вероятность.

Три техники контроля ответа

Перечисление. Для небольшой таблицы из двух испытаний сначала явно выпишите все упорядоченные пары. Это предотвращает потерю пересечений при слове «или».

Весовая проверка. Запишите вероятность для каждой подходящей пары и сложите. При независимости вес пары равен произведению вероятностей её частей. При зависимости использовать такой продукт без условной вероятности нельзя.

Дополнение. Если подходящих пар много, удобнее найти противоположное событие. В задании 12 событие «первый 0 или второй В» имеет дополнение «первый 1 и второй не В»: его вероятность (1/4)(5/6)=5/24, значит первоначальная вероятность 19/24.

При выполнении самостоятельной работы полезно подписывать отдельно «количество» и «вероятность». Количество — целое число от 0 до числа элементарных исходов; вероятность — число от 0 до 1. Проверка диапазона помогает обнаружить путаницу ещё до сдачи работы.

Как объяснить ответ на проверочной

В полном решении задачи о неравновозможных исходах достаточно написать четыре содержательных шага. Первый: назвать элементарные исходы, например отдельные цвета или пары показаний. Второй: явно перечислить, какие из них благоприятны, и записать их количество целым числом. Третий: показать веса благоприятных исходов; при независимых опытах сначала перемножить вероятности компонентов пары. Четвёртый: сложить веса и проверить границы: искомая вероятность не может быть отрицательной или больше единицы.

Пример дополнительной самопроверки для задания 10: первый датчик имеет два исхода, второй три. Множество результатов второго датчика {А, Б, В} сохраняется независимо от того, что показал первый датчик, поэтому по условию «первый = 1» подходят ровно (1,А), (1,Б), (1,В). Для подсчёта здесь не требуется знать ни одной вероятности. Но чтобы найти вероятность такого события, необходим вес «1» у первого датчика.

Ошибку в задании 6 можно объяснить аналогично: если выбрать один из восьми конкретных жетонов, то «красный или синий» содержит три отдельных равновозможных исхода. Если описать опыт только цветами, те же три физических жетона объединятся в два цветовых исхода с суммарной вероятностью 3/8. Модели дают одну вероятность, хотя число благоприятных исходов в них разное; обязательно уточняйте пространство исходов.