Проверка независимости выбора с запрещёнными сочетаниями — задания с разбором, 9 класс

Два разных механизма ограничения

Считайте, что после удаления запрещённых сочетаний одна из оставшихся упорядоченных пар выбирается равновероятно. Именно этот уточнённый эксперимент исследуем. Событие A — условие на букву, B — условие на число. Проверка независимости: P(A∩B)=P(A)·P(B).

Вариант I. Запрещённая диагональ

1. (‘Перечислите все допустимые пары (буква, число), если запрещены (А,1), (Б,2), (В,3).’, ‘(А,2),(А,3),(Б,1),(Б,3),(В,1),(В,2): всего 6 пар.’)
2. (‘Среди допустимых пар найдите P(первая буква А).’, ‘2/6=1/3.’)
3. (‘Найдите P(второе число 1).’, ‘2/6=1/3.’)
4. (‘Найдите P(А и 1).’, ‘0: пара (А,1) запрещена.’)
5. (‘Независимы ли события «А» и «1»?’, ‘Нет: 0 ≠ (1/3)(1/3)=1/9.’)
6. (‘Найдите P(число 2 | буква А).’, ‘1/2: среди пар с А ровно (А,2) и (А,3).’)
7. (‘Найдите P(число 2) без знания буквы.’, ‘2/6=1/3; отличие от 1/2 доказывает зависимость.’)
8. (‘Исправьте фразу «поскольку буква и число выбирались отдельно, события независимы».’, ‘После отбраковки запрещённых пар пространство изменилось: нужно проверять произведение вероятностей уже на шести допустимых исходах.’)

Вариант II. Удалён целый столбец

9. (‘В другом протоколе запрещена вся колонка с числом 3, то есть (А,3),(Б,3),(В,3). Сколько допустимых пар?’, ‘6: каждая из трёх букв с числами 1 и 2.’)
10. (‘Найдите P(буква А) и P(число 1) в новом протоколе.’, ‘P(А)=2/6=1/3, P(1)=3/6=1/2.’)
11. (‘Найдите P(А и 1), затем проверьте независимость.’, ‘P(А∩1)=1/6=(1/3)(1/2); события независимы.’)
12. (‘Найдите P(Б и 2).’, ‘1/6; это равно P(Б)P(2)=1/3·1/2.’)
13. (‘Верна ли фраза «наличие запретов обязательно нарушает независимость»?’, ‘Нет: при запрете целого столбца допустимое множество остаётся декартовым произведением {А,Б,В}×{1,2}.’)
14. (‘Если дополнительно запретить (В,2), сколько пар останется?’, ‘5 равновозможных разрешённых пар.’)
15. (‘При пяти парах проверьте независимость событий «буква В» и «число 1».’, ‘P(В)=1/5, P(1)=3/5, P(В∩1)=1/5; 1/5 ≠3/25 — зависимы.’)
16. (‘Объясните, почему считать 1/9 для допустимой пары (А,1) в новом протоколе неверно.’, ‘После отбраковки допустимых пар стало 6, поэтому при равномерном выборе среди них P(А,1)=1/6.’)

Взаимная проверка

Поменяйтесь работами. Не достаточно предъявить одинаковые маргинальные вероятности: обязательно вычислите совместную. В первом наборе невозможная пара даёт нуль; во втором допустимые пары образуют полное произведение двух наборов значений.

Ключ и разбор неочевидных ответов

1. (А,2),(А,3),(Б,1),(Б,3),(В,1),(В,2): всего 6 пар.
2. 2/6=1/3.
3. 2/6=1/3.
4. 0: пара (А,1) запрещена.
5. Нет: 0 ≠ (1/3)(1/3)=1/9.
6. 1/2: среди пар с А ровно (А,2) и (А,3).
7. 2/6=1/3; отличие от 1/2 доказывает зависимость.
8. После отбраковки запрещённых пар пространство изменилось: нужно проверять произведение вероятностей уже на шести допустимых исходах.
9. 6: каждая из трёх букв с числами 1 и 2.
10. P(А)=2/6=1/3, P(1)=3/6=1/2.
11. P(А∩1)=1/6=(1/3)(1/2); события независимы.
12. 1/6; это равно P(Б)P(2)=1/3·1/2.
13. Нет: при запрете целого столбца допустимое множество остаётся декартовым произведением {А,Б,В}×{1,2}.
14. 5 равновозможных разрешённых пар.
15. P(В)=1/5, P(1)=3/5, P(В∩1)=1/5; 1/5 ≠3/25 — зависимы.
16. После отбраковки допустимых пар стало 6, поэтому при равномерном выборе среди них P(А,1)=1/6.

Особое внимание уделите заданиям 8, 13 и 15: независимость определяется новой вероятностной моделью после ограничений, а не намерением выбрать букву и число «по отдельности».