Проверка независимости выбора при выборе двух разных участников — мини-практикум с ответами, 9 класс

Парадокс: без возвращения независимость всё-таки возможна?

Тезис для проверки: «Если двух разных участников выбирают без возвращения, любые события первого и второго выбора зависимы». Это утверждение неверно в общем виде. Зависимость определяется тем, какие множества номеров описывают A и B, а не одним словом «без возвращения».

Пусть участников n, первый номер принадлежит множеству S, а второй — T. Всего n(n−1) упорядоченных пар разных людей. Благоприятных пар |S|·|T|−|S∩T|: вычитаем случаи, когда одна и та же персона ошибочно указана дважды. Поэтому P(A∩B)=[|S|·|T|−|S∩T|]/[n(n−1)].

Маргинальные вероятности равны P(A)=|S|/n и P(B)=|T|/n. Равенство P(A∩B)=P(A)P(B) после сокращений эквивалентно n·|S∩T|=|S|·|T|. Оно иногда выполняется даже при запрете повторно выбирать одного человека.

Один доказанный пример

Четыре участника, S={1,2}, T={1,3}. Существует 4·3=12 допустимых упорядоченных пар; из 2·2=4 пар S×T одна (1,1) запрещена. Значит P(A∩B)=3/12=1/4, а P(A)P(B)=1/2·1/2=1/4. События независимы несмотря на запрет повторного выбора.

Практикум на обоснование (12 задач)

1. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 5, номера 1–5. A: первый из кружка 1–3; B: второй тоже из кружка 1–3. Обоснуйте зависимость.
2. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 5, номера 1–5. A: первый из пары 1–2; B: второй из тройки 3–5. Можно ли перемножать вероятности?
3. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 4, номера 1–4. A: первый из {1,2}; B: второй из {1,3}. Возможна ли независимость без возвращения?
4. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 6, номера 1–6. A: первый из {1,2,3}; B: второй из {1,4}. Проверьте независимость.
5. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 6, номера 1–6. A: первый из {1,2,3}; B: второй из {1,2}. Сравните P(B|A) с P(B).
6. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 8, номера 1–8. A: первый из {1,2,3,4}; B: второй из {1,5}. Можно ли получить независимость?
7. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 8, номера 1–8. A: первый из первой команды; B: второй из второй. Рассчитайте совместную вероятность.
8. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 7, номера 1–7. A: первый из трёх участников; B: второй из первых четырёх. Найдите число подходящих пар.
9. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 9, номера 1–9. A: первый номер 1–3; B: второй номер из {1,4,7}. Проверьте через общее пересечение.
10. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 10, номера 1–10. A: первый из пяти; B: второй из {1,2,6,7}. Найдите P(A∩B).
11. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 6, номера 1–6. A: первый из {1,2,3,4}; B: второй из {3,4,5}. Независимы ли события?
12. Случайно и по порядку выбирают двух разных участников из 12, номера 1–12. A: первый из 1–6; B: второй из {1,7,8,9}. Докажите результат.

Проверка особых случаев

Если S=T — непустая собственная часть участников, при первом выборе из S второй выбор из S становится менее вероятным. Если S и T не пересекаются, выбор из S, наоборот, повышает вероятность выбрать второй номер из T. Но при частичном пересечении влияние может взаимно компенсироваться: сравнивайте точные дроби.

Доказательные ответы

1. Всего 5·4=20 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 3·3−3=6 (самосочетания исключены). P(A∩B)=3/10; P(A)P(B)=3/5·3/5=9/25. Нет, независимость отсутствует.
2. Всего 5·4=20 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 2·3−0=6 (самосочетания исключены). P(A∩B)=3/10; P(A)P(B)=2/5·3/5=6/25. Нет, независимость отсутствует.
3. Всего 4·3=12 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 2·2−1=3 (самосочетания исключены). P(A∩B)=1/4; P(A)P(B)=1/2·1/2=1/4. Да, независимость имеется.
4. Всего 6·5=30 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 3·2−1=5 (самосочетания исключены). P(A∩B)=1/6; P(A)P(B)=1/2·1/3=1/6. Да, независимость имеется.
5. Всего 6·5=30 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 3·2−2=4 (самосочетания исключены). P(A∩B)=2/15; P(A)P(B)=1/2·1/3=1/6. Нет, независимость отсутствует.
6. Всего 8·7=56 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 4·2−1=7 (самосочетания исключены). P(A∩B)=1/8; P(A)P(B)=1/2·1/4=1/8. Да, независимость имеется.
7. Всего 8·7=56 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 4·4−0=16 (самосочетания исключены). P(A∩B)=2/7; P(A)P(B)=1/2·1/2=1/4. Нет, независимость отсутствует.
8. Всего 7·6=42 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 3·4−3=9 (самосочетания исключены). P(A∩B)=3/14; P(A)P(B)=3/7·4/7=12/49. Нет, независимость отсутствует.
9. Всего 9·8=72 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 3·3−1=8 (самосочетания исключены). P(A∩B)=1/9; P(A)P(B)=1/3·1/3=1/9. Да, независимость имеется.
10. Всего 10·9=90 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 5·4−2=18 (самосочетания исключены). P(A∩B)=1/5; P(A)P(B)=1/2·2/5=1/5. Да, независимость имеется.
11. Всего 6·5=30 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 4·3−2=10 (самосочетания исключены). P(A∩B)=1/3; P(A)P(B)=2/3·1/2=1/3. Да, независимость имеется.
12. Всего 12·11=132 упорядоченных пар; допустимых для A∩B: 6·4−1=23 (самосочетания исключены). P(A∩B)=23/132; P(A)P(B)=1/2·1/3=1/6. Нет, независимость отсутствует.

Каждый правильный ответ должен содержать три числа: n(n−1), количество разрешённых пар для A∩B и произведение P(A)P(B). Ответ только «зависимы/независимы» без проверки не считается обоснованным.