Восстановление координат конца вектора при заданной длине и одном компоненте — карточки с ответами, 9 класс

Цель: восстановить конец направленного отрезка по началу, длине и одной известной компоненте; отличать два возможных конца от одного и от отсутствия решений. В задании все координаты указаны в одинаковых условных единицах.

Сначала прочитайте данные

Пусть A=(x₀; y₀), B=(x; y), а вектор AB имеет компоненты (u; v)=(x−x₀; y−y₀). Длина L неотрицательна и удовлетворяет u²+v²=L². Если известна u, вычисляем v²=L²−u², затем B=(x₀+u; y₀+v). Для известной v действуем симметрично. Не забывайте оба знака квадратного корня.

Проверьте три ситуации. Положительный остаток под корнем даёт две позиции B; нулевой — одну; отрицательный означает ни одной реальной позиции. Начальная и конечная точки могут совпасть лишь при L=0.

Для каждого номера сначала запишите неизвестную компоненту в виде квадратного корня, потом выпишите все конечные точки. В таблице есть и случаи с одной точкой, и невозможные условия.

Карточки на применение условия

11. Начало A=(2; 1), длина AB=5, компонента u=4. Дополнительное требование: y(B)>y(A). Найдите все B; оставьте только точку выше начала.
12. Начало A=(-3; 2), длина AB=13, компонента v=-5. Дополнительное требование: x(B)<x(A). Найдите все B; оставьте только точку левее начала.
13. Начало A=(0; 0), длина AB=4, компонента u=0. Дополнительное требование: y(B)<0. Найдите все B; конец лежит ниже оси Ox.
14. Начало A=(3; -2), длина AB=5, компонента v=3. Дополнительное требование: x(B)>3. Найдите все B; конец правее вертикали x=3.
15. Начало A=(-1; -1), длина AB=7, компонента u=-7. Дополнительное требование: y(B)=y(A). Найдите все B; неизвестная компонента должна равняться нулю.
16. Начало A=(1; 4), длина AB=6, компонента v=10. Дополнительное требование: любой B. Найдите все B; проверьте реализуемость длины.

Ответы и арифметическая проверка

• 1. L²−3²=16; поэтому B = (4; -2); (4; 6).
• 2. L²−-12²=25; поэтому B = (-9; -9); (1; -9).
• 3. L²−6²=64; поэтому B = (6; -9); (6; 7).
• 4. L²−8²=36; поэтому B = (-1; 13); (11; 13).
• 5. L²−5²=0; поэтому B = (3; -3).
• 6. L²−0²=49; поэтому B = (-3; 0); (11; 0).
• 7. L²−8²=-15; остаток отрицателен, решения нет.
• 8. L²−-4²=9; поэтому B = (-4; 0); (2; 0).
• 9. L²−-12²=25; поэтому B = (-9; -4); (-9; 6).
• 10. L²−6²=64; поэтому B = (-13; 8); (3; 8).
• 11. После вычисления L²−4²=9 и учёта ограничения: (6; 4).
• 12. После вычисления L²−-5²=144 и учёта ограничения: (-15; -3).
• 13. После вычисления L²−0²=16 и учёта ограничения: (0; -4).
• 14. После вычисления L²−3²=16 и учёта ограничения: (7; 1).
• 15. После вычисления L²−-7²=0 и учёта ограничения: (-8; -1).
• 16. После вычисления L²−10²=-64 и учёта ограничения: подходящих точек нет.

Почему нельзя ограничиться одним ответом

В карточке 1 вектор может идти от A вправо на три клетки и затем вверх либо вниз на четыре. Обе длины равны пяти: 3²+4²=25. Если задача дополнительно просит расположение конца в заданной полуплоскости, одна позиция отсеивается после вычисления, а не угадывается заранее.

Проверьте карточку 7 отдельно: |u|=8 превышает длину 7. Ни одна вторая компонента не сможет «уменьшить» длину до семи, ведь v²≥0. В карточке 5 неизвестная компонента равна нулю, и запись ±0 не создаёт два разных ответа.

Для самопроверки подставьте координаты каждой найденной точки в (x−x₀)²+(y−y₀)²=L² и убедитесь, что известная компонента и дополнительное требование сохранены. Проверка по одной длине без учёта известной компоненты недостаточна: на окружности с центром A бесконечно много точек.

Для заданий 2, 4, 8 и 10 известна вертикальная компонента v. Поэтому горизонтальное смещение вычисляется как u=±√(L²−v²), а не наоборот. Знак известной компоненты менять нельзя: если v=−12, конец действительно расположен на двенадцать единиц ниже начала. Проверяйте каждую найденную пару координат вычитанием: сначала вычисляется B−A, а уже затем его длина.

Удобная запись в тетради состоит из четырёх строк: «дано A, L, u или v»; «остаток L²−u² либо L²−v²»; «все возможные значения недостающей компоненты»; «точки B и проверка». Этот порядок особенно важен там, где дополнительное условие отбрасывает один из двух математически возможных концов. Не применяйте округление к точным корням: при нецелом √(L²−u²) координата может остаться с радикалом.