Восстановление координат конца вектора для противоположно направленных векторов: диагностика ошибок, 9 класс

На этой диагностике важно не спутать три высказывания: «векторы коллинеарны», «векторы противоположно направлены» и «векторы противоположны». Последнее означает равные длины и множитель −1. В остальных случаях противоположное направление задаётся отрицательным множителем, но его модуль надо знать из условия о длине.

Разобранная ошибка: конечная точка не равна компонентам

Дано P=(1; 2), Q=(4; 6), A=(−2; 5). Требуется найти B при AB противоположном PQ и |AB|=2|PQ|. Тогда PQ=(3; 4), AB=(−6; −8), значит B=A+AB=(−8; −3). Ответ B=(−6; −8) был бы ошибкой: это координаты самого вектора AB, а не конца B.

Обратная проверка: B−A=(−8+2; −3−5)=(−6; −8)=−2(3; 4). Знак множителя отрицательный, поэтому векторы действительно направлены в противоположные стороны. Длина вектора PQ равна 5, а AB равна 10.

Этап 1. Исправьте ошибочное решение

1. P=(1; 0), Q=(4; 4), A=(2; 3). AB должен быть противоположно направлен PQ и иметь длину 1|PQ|. Ученик записал B=(5; 7). Найдите ошибку и правильные координаты B.
2. P=(0; 2), Q=(5; 2), A=(-1; 4). AB должен быть противоположно направлен PQ и иметь длину 2|PQ|. Ученик записал B=(-10; 0). Найдите ошибку и правильные координаты B.
3. P=(-2; 1), Q=(1; 5), A=(3; -2). AB должен быть противоположно направлен PQ и иметь длину 1|PQ|. Ученик записал B=(6; 2). Найдите ошибку и правильные координаты B.
4. P=(4; -1), Q=(4; 5), A=(-2; 2). AB должен быть противоположно направлен PQ и иметь длину 3|PQ|. Ученик записал B=(0; -18). Найдите ошибку и правильные координаты B.
5. P=(0; 0), Q=(-8; 6), A=(1; 1). AB должен быть противоположно направлен PQ и иметь длину 1/2|PQ|. Ученик записал B=(-3; 4). Найдите ошибку и правильные координаты B.

Этап 2. Изменяем начальную точку и масштаб

6. P=(2; -3), Q=(-2; 3), A=(-1; 0). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=2|PQ|. Выпишите AB и B.
7. P=(1; 5), Q=(7; 1), A=(3; 3). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=1|PQ|. Выпишите AB и B.
8. P=(-4; 2), Q=(2; 2), A=(0; -5). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=3/2|PQ|. Выпишите AB и B.
9. P=(1; -1), Q=(5; 7), A=(-3; 0). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=1/2|PQ|. Выпишите AB и B.
10. P=(8; 0), Q=(2; -4), A=(1; 2). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=2|PQ|. Выпишите AB и B.
11. P=(-1; -2), Q=(-4; 2), A=(3; 1). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=3|PQ|. Выпишите AB и B.
12. P=(6; 1), Q=(10; 4), A=(-2; -2). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=1|PQ|. Выпишите AB и B.
13. P=(0; 9), Q=(0; 3), A=(2; 4). Постройте B, чтобы AB и PQ были противоположно направлены, а |AB|=1/3|PQ|. Выпишите AB и B.

Этап 3. Проверка на смысл условия

14. Известно PQ=(0; 0). Можно ли требовать, чтобы ненулевой AB был противоположно направлен PQ? Объясните.
15. Ученик утверждает: «Если AB=−3·PQ, то AB и PQ противоположные векторы». Верно ли это при PQ≠0?
16. Дано A=(4; −2), B=(−2; 7). Найдите координаты ненулевого PQ, противоположно направленного AB, если |PQ|=|AB|.
17. Пусть AB=−(1/2)PQ и PQ≠0. Что верно о длинах и направлении? Что произойдёт при замене −(1/2) на +(1/2)?
18. Укажите, достаточно ли одного условия «AB противоположно направлен PQ» для однозначного определения B при заданном A и PQ≠0.

Ключ для проверки и восстановления хода мысли

• 1. PQ=(3; 4), AB=(-3; -4), B=(-1; -1). Ошибка: вместо отрицательного множителя использован положительный. Обратная проверка B−A=(-3; -4).
• 2. PQ=(5; 0), AB=(-10; 0), B=(-11; 4). Ошибка: координаты вектора AB перепутаны с координатами конца B. Обратная проверка B−A=(-10; 0).
• 3. PQ=(3; 4), AB=(-3; -4), B=(0; -6). Ошибка: вместо отрицательного множителя использован положительный. Обратная проверка B−A=(-3; -4).
• 4. PQ=(0; 6), AB=(0; -18), B=(-2; -16). Ошибка: координаты вектора AB перепутаны с координатами конца B. Обратная проверка B−A=(0; -18).
• 5. PQ=(-8; 6), AB=(4; -3), B=(5; -2). Ошибка: вместо отрицательного множителя использован положительный. Обратная проверка B−A=(4; -3).
• 6. AB=−2·(-4; 6)=(8; -12); B=(7; -12).
• 7. AB=−1·(6; -4)=(-6; 4); B=(-3; 7).
• 8. AB=−3/2·(6; 0)=(-9; 0); B=(-9; -5).
• 9. AB=−1/2·(4; 8)=(-2; -4); B=(-5; -4).
• 10. AB=−2·(-6; -4)=(12; 8); B=(13; 10).
• 11. AB=−3·(-3; 4)=(9; -12); B=(12; -11).
• 12. AB=−1·(4; 3)=(-4; -3); B=(-6; -5).
• 13. AB=−1/3·(0; -6)=(0; 2); B=(2; 6).
• 14. Нет. У нулевого вектора нет направления, поэтому говорить о противоположном направлении ненулевого вектора к нему некорректно.
• 15. Нет. Направления противоположны, но длина AB втрое больше длины PQ; «противоположные векторы» требуют именно множителя −1.
• 16. AB=(−6; 9), значит PQ=(6; −9). Длины равны, а сумма AB+PQ=(0; 0).
• 17. AB противоположно направлен PQ и вдвое короче; при плюсе станет сонаправленным.
• 18. Недостаточно. Все векторы AB=−t·PQ при t>0 подходят; без длины/масштаба точек B бесконечно много.

В каждом случае полезна короткая самостоятельная проверка: вычислите разность B−A, найдите множитель по одной ненулевой компоненте, проверьте вторую компоненту и только затем сравните длины. Делить на нулевую компоненту нельзя: при PQ=(0; 6) направление проверяется по второй координате, а первая должна остаться нулевой.

Типичные причины неверного ответа: перепутанный знак, вычитание A−B вместо B−A, игнорирование начальной точки, а также смешение понятий «коллинеарные» и «противоположно направленные». Если один из признаков не выполнен, исправлять надо именно нарушенный шаг, а не подгонять конечную точку.

Как самостоятельно доказать результат, а не угадать его по рисунку

Пусть PQ=(p; q), причём хотя бы одна из величин p или q не равна нулю, а длина искомого AB в k раз больше длины PQ. При противоположном направлении AB=−k·PQ, где k положительно. Если A=(a; b), то конец B=(a−kp; b−kq). Эта формула следует из определения вектора AB=B−A и сразу показывает, почему начальную точку нельзя забывать. Например, при вертикальном PQ=(0; 6), k=2 и A=(3; −4) получается B=(3; −16), а не (0; −12).

Обратное рассуждение полезно в контрольной работе: после нахождения B вычислите AB, проверьте равенство AB=−k·PQ и объясните, почему k больше нуля. Если координаты PQ и AB дают разные множители в двух ненулевых компонентах, решение неверно: такие векторы не лежат на параллельных направлениях. Если множитель положительный, получилось сонаправление. Если множитель отрицательный, но неправильного модуля, направление верно, однако длина нарушена.