Проверка коллинеарности векторов по условию линейной комбинации — диагностика ошибок, 9 класс

В начале работы ученик увидел: «u=(1; 2), v=(2; 1), w=u+v. Так как w состоит из u и v, он обязательно коллинеарен u». Это ошибка: w=(3; 3), а определитель det(u,w)=1·3−2·3=−3, поэтому коллинеарности нет. Любая линейная комбинация лежит в плоскости, но вовсе не обязана лежать на прямой одного слагаемого.

Найдите и исправьте пять разных ошибок

1. a=(2; 3), b=(4; 6), w=a−b. Ученик считает w=(−2; −3) и говорит: «w не коллинеарен a, потому что координаты отрицательны».
2. a=(1; 0), b=(0; 2), w=2a+3b. Ученик получил w=(2; 6), но затем неверно утверждает det(a,w)=2.
3. a=(−2; 4), b=(1; −2), w=a+2b. Ученик получил w=(0; 0) и решил: «нулевой вектор противоположно направлен a».
4. a=(3; 1), b=(0; 2), w=a+2b. Ученик сравнил отношения 3/3 и 1/5, объявил их равными.
5. a=(2; −1), b=(−4; 2), w=a+b. Ученик верно получил w=(−2; 1), но записал, что коэффициент пропорциональности равен +1.

Закрепление: проверьте комбинацию самостоятельно

6. a=(2; 1), b=(1; 3), w=1a + 0b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
7. a=(1; -2), b=(2; 1), w=2a + 1b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
8. a=(-1; 4), b=(2; -8), w=1a + 1b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
9. a=(3; 2), b=(6; 4), w=1a − 1/2b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
10. a=(0; 5), b=(2; 0), w=3a + 1b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
11. a=(4; -2), b=(-2; 1), w=1a − 2b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
12. a=(2; 3), b=(1; -1), w=0a + 4b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
13. a=(-3; 1), b=(6; -2), w=2a + 1b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
14. a=(1; 1), b=(-1; 1), w=1a + 1b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.
15. a=(5; 0), b=(0; 2), w=-1a + 0b. Найдите w и проверьте его коллинеарность с a.

Ответы с исправлениями

• 1. w=(−2; −3)=−a. Коллинеарен, направление противоположно; отрицательные координаты не запрещают коллинеарность.
• 2. det(a,w)=1·6−0·2=6≠0. Следовательно, не коллинеарны; перемножать одинаковые индексы вместо перекрёстных нельзя.
• 3. w=(0; 0). Нулевой вектор алгебраически коллинеарен a, но не имеет направления. Слова «противоположно направлен» недопустимы.
• 4. w=(3; 5), 3/3=1, а 1/5≠1; det(a,w)=3·5−1·3=12≠0.
• 5. w=−a, множитель −1. Векторы коллинеарны, но противоположно направлены; знак коэффициента принципиален.
• 6. w=(2; 1), det(a,w)=0; коллинеарен a и сонаправлен.
• 7. w=(4; -3), det(a,w)=5; не коллинеарен a.
• 8. w=(1; -4), det(a,w)=0; коллинеарен a и противоположно направлен.
• 9. w=(0; 0), det(a,w)=0; нулевой вектор; коллинеарность есть, направление не определено.
• 10. w=(2; 15), det(a,w)=-10; не коллинеарен a.
• 11. w=(8; -4), det(a,w)=0; коллинеарен a и сонаправлен.
• 12. w=(4; -4), det(a,w)=-20; не коллинеарен a.
• 13. w=(0; 0), det(a,w)=0; нулевой вектор; коллинеарность есть, направление не определено.
• 14. w=(0; 2), det(a,w)=2; не коллинеарен a.
• 15. w=(-5; 0), det(a,w)=0; коллинеарен a и противоположно направлен.

Схема самопроверки: сначала вычислите обе компоненты комбинации, затем det(a,w). При нулевом определителе можно говорить о коллинеарности; о направлении — только если оба вектора ненулевые. Не делите на нулевую компоненту, а также не подменяйте определитель скалярным произведением.

Для оценки можно присудить по одному баллу за вычисление комбинации и за обоснованный вывод в заданиях 6–15; первые пять оцениваются по два балла за обнаружение ошибки и точное исправление. Максимум 30 баллов. Ошибка в знаке множителя приводит к неверной характеристике направления, даже если сам факт коллинеарности установлен верно.