Восстановление пропущенного множителя при делении на тригонометрическое выражение — тематические карточки для 10 класса

Учебный маршрут: деление на тригонометрическое выражение

На этой странице восстанавливаем множитель в схемах вида A(x)/B(x) = C(x)·□. Главная сложность — не получение красивого ответа, а сохранение условия B(x) ≠ 0. Иногда дробь сокращается до константы, но в исходном выражении точка, где делитель был нулём, всё равно остаётся запрещённой. Даже верный по форме множитель не делает деление на нуль допустимым.

План проверки прост: (1) выпишите ОДЗ исходной дроби; (2) упростите числитель, используя основное тождество или формулы двойного угла; (3) восстановите □; (4) подставьте найденный множитель обратно и не потеряйте ОДЗ. Если обе части равны при допустимых значениях x, задача решена.

Разминка: четыре вычисления с последующей проверкой

1. sin 2x / cos x = 2·□
2. (1−cos²x)/sin x = sin x·□
3. (sin x cos x)/sin x = cos x·□
4. cos²x/(1−sin²x) = 1·□

Развилка: где ошибка в записи ОДЗ?

Если ученик написал для задания 3 «ответ верен при всех x», объясните, почему при x=0 выражение слева имеет вид 0/0. Если в задании 4 он отметил x=π/2 допустимым, подставьте в знаменатель исходной дроби: 1−sin²(π/2)=0. Исправление начинается с делителя, а не с окончательной сокращённой формулы.

Ступень II — восстановите множитель и назовите делитель

5. sin²x/cos x = sin x·□
6. sin 2x/(2cos x) = □·sin x
7. (1−cos 2x)/sin x = 2sin x·□
8. (1+cos 2x)/cos x = 2cos x·□
9. sin 2x/sin x = cos x·□
10. cos x/(sin x cos x) = (1/sin x)·□
11. sin x/(sin x cos x) = (1/cos x)·□

Устная остановка: чем различаются равенства 1 = 1 и cos²x/(1−sin²x) = 1? Как числовые значения они совпадают при допустимых x, но во втором случае знаменатель может обращаться в нуль. Это и есть причина записывать область определения до сокращения. Отдельно проверьте задание 10 при x=π/2: хотя правая дробь 1/sin x определена, исходная левая часть не существует.

Ступень III — формулы двойного угла и составные знаменатели

12. (1−sin²x)/(sin x cos x) = (cos x/sin x)·□
13. sin 2x/(1+cos 2x) = tg x·□
14. (1−cos 2x)/sin 2x = tg x·□
15. (1−cos²x)/(sin x cos x) = tg x·□
16. sin x/(1+cos x) = ((1−cos x)/sin x)·□
17. sin 2x/(1−sin²x) = (2tg x)·□
18. cos x/(1−sin²x) = (1/cos x)·□

Ключ: восстановленные множители и условия

1. sin x; cos x ≠ 0: 2sin x cos x/cos x=2sin x.
2. 1; sin x ≠ 0: sin²x/sin x=sin x.
3. 1; sin x ≠ 0. В точках x=πk исходная дробь не определена.
4. 1; cos x ≠ 0, поскольку 1−sin²x=cos²x.
5. tg x; cos x ≠ 0. Левая часть sin x tg x.
6. 1; cos x ≠ 0. Ученик, забывший эту оговорку, расширил область.
7. 1; sin x ≠ 0, так как 1−cos 2x=2sin²x.
8. 1; cos x ≠ 0, так как 1+cos 2x=2cos²x.
9. 2; sin x ≠ 0. При x=πk сокращение нельзя использовать для исходной дроби.
10. 1; sin x≠0 и cos x≠0. Обе части исходной записи существуют только при этих условиях.
11. 1; sin x≠0, cos x≠0. Сокращение sin x не отменяет условие sin x≠0.
12. 1; sin x cos x ≠ 0. Сначала 1−sin²x=cos²x.
13. 1; cos x ≠ 0. Делитель 1+cos 2x=2cos²x.
14. 1; sin 2x ≠ 0. Здесь cos x≠0 и sin x≠0 одновременно.
15. 1; sin x cos x ≠ 0. После сокращения sin²x/(sin x cos x)=tg x.
16. 1; sin x≠0 и 1+cos x≠0; равенство следует из sin²x=(1−cos x)(1+cos x).
17. 1; cos x≠0, поскольку 1−sin²x=cos²x.
18. 1; cos x≠0. Сокращённое выражение не определяет исходное в точках cos x=0.

Что исправлять после проверки

• Если множитель получился верно, но ОДЗ нет, повторите задания 3, 4, 10 и 11: сокращение дроби не возвращает исключённые точки.
• Если в формулах с cos 2x появился неверный знак, используйте 1−cos 2x=2sin²x и 1+cos 2x=2cos²x; проверьте задания 7, 8 и 14.
• Если делитель состоит из двух множителей, запрещены нули каждого из них; запись sin x cos x ≠ 0 означает сразу sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0.
• Если неверно сократили sin 2x, сначала раскройте его как 2sin x cos x и только после этого сокращайте ненулевые множители.

Обратите внимание на задание 16: преобразование умножением на сопряжённое выражение возможно только при тех значениях x, где определены обе стороны. Запишите проверку: sin x/(1+cos x)=sin²x/[sin x(1+cos x)]=(1−cos x)/sin x. В промежуточной форме мы умножаем на sin x/sin x, поэтому требуется sin x ≠ 0. Это ограничение уже входит в область правой части и не противоречит заявленной области равенства.

Критерий «зачёт»: пропущенный множитель верен; выписаны ограничения исходной дроби; на них подстановка снова даёт верное равенство. Дополнительные исключения, случайно появившиеся из деления на нулевой вспомогательный множитель, не нужно превращать в запрет исходной формулы. Однако ограничения из исходного знаменателя ни при каких обстоятельствах не удаляются.

Разбор изменений знаменателя — дополнительные контрольные примеры

Сравните задания 9 и 13. В первом исходный делитель sin x, и все x=πk исключаются, хотя итоговое выражение 2cos x вполне определено при этих значениях. Во втором делитель 1+cos 2x; используя формулу 1+cos 2x=2cos²x, получаем запрет cos x=0. Следовательно, исходные области различаются. Оба примера заканчиваются простой формулой, но восстановленный множитель нельзя оценивать без первоначального делителя.

Полезный приём для задания 12: знаменатель sin x cos x равен нулю, когда обнуляется любой сомножитель. После замены 1−sin²x=cos²x выражение превращается в cos x/sin x, но точка cos x=0 по-прежнему запрещена. Если записать только область сокращённой дроби, мы нечаянно допустим x=π/2+πk, хотя слева исходной записи стояло деление на нуль.

В заданиях 15 и 16 одинаковый числовой множитель 1 имеет разную математическую историю. В задании 15 мы просто сократили синус в составном знаменателе, а в задании 16 использовали разность квадратов. В каждом случае сначала выясните, какие множители были в знаменателе до преобразования. Тождество между сокращёнными функциями и равенство исходных выражений — не одно и то же утверждение, если области определения отличаются.