Проверка преобразования тождества при применении формул двойного угла — мини-практикум с ответами, 10 класс

Мини-тест: проверяем формулы двойного угла

Цель — не просто узнавать формулы, а находить ошибочный знак, отличать синус от тангенса двойного угла и проверять область определения дроби. Все аргументы даны в радианах. Задания короткие, поэтому прежде чем открывать решения, рядом с каждым напишите «верно/неверно», исправление или точное значение.

Двенадцать контрольных вопросов

1. Верно ли при любом x: 2sin x cos x = sin 2x?
2. Исправьте запись cos 2x = sin²x − cos²x.
3. Что равно 1 − 2sin²x?
4. Если cos x = 3/5, вычислите cos 2x.
5. Если sin x cos x = −1/4, найдите sin 2x.
6. Истинно ли sin²x+cos²x = cos 2x для всех x?
7. Заполните: (1−cos 2x)/2 = □.
8. Может ли cos 2x быть записан как 2cos²x−1?
9. Верно ли sin 2x/(2cos x)=sin x без условий?
10. Ученик написал tg 2x=2tg x/(1+tg²x). Укажите ошибку.
11. Найдите sin²x, если cos 2x=−3/5.
12. При x=π/4 проверьте cos 2x = cos²x − sin²x.

Подсчёт баллов

За каждый правильный ответ — 1 балл, за пояснение в заданиях 2, 6, 9 и 10 — дополнительно по 1 баллу. Всего 16 баллов. 14–16 — уверенное владение; 10–13 — повторите знаки формул; 6–9 — потренируйте основные преобразования; 0–5 — начните с вывода cos 2x через основное тождество. Ответы вида «верно» без вычисления там, где требуется обоснование, не дают дополнительного балла.

Разбор ответов

1. Верно; это формула синуса двойного угла, без ограничений.
2. Нужен обратный порядок: cos 2x = cos²x − sin²x.
3. cos 2x; следует из cos²x−sin²x и sin²x+cos²x=1.
4. 2·9/25−1=−7/25. Значение sin x не требуется.
5. −1/2, потому что sin 2x=2sin x cos x.
6. Ложно; левая часть равна 1, при x=π/2 правая равна −1.
7. sin²x. Проверка: 1−cos 2x=2sin²x.
8. Да, на всей ℝ; после замены sin²x=1−cos²x.
9. При cos x≠0 верно. В точках cos x=0 левая часть не определена.
10. Правая часть равна sin 2x, а не tg 2x. Для tg 2x знаменатель 1−tg²x и нужны ОДЗ.
11. sin²x=(1−cos 2x)/2=(1+3/5)/2=4/5.
12. 0=1/2−1/2; равенство верно. Этим значением удобно обнаруживать неверный знак.

Как отличить типичные ловушки

Синус двойного угла содержит произведение sin x cos x и множитель 2. Косинус двойного угла удобно проверять тремя формами: cos²x−sin²x, 1−2sin²x, 2cos²x−1. Все три корректны на всей ℝ. Но если вы переходите к тангенсу, то появляется знаменатель: нельзя утверждать тождество на точках, где знаменатель обращается в нуль.

Особое внимание на задания 9 и 10: равенство двух упрощённых формул не даёт права убрать исходный делитель. В задании 9 при x=π/2 выражение слева имеет нулевой знаменатель, даже если после формального сокращения справа остаётся определённый sin x. Проверка области выполняется по исходной записи.