Проверка преобразования тождества после вынесения общего множителя — задачи с решениями для 10 класса

Три быстрых вопроса — затем практика

1. Можно ли вынести sin x из суммы sin²x+sin x cos x? 2. Изменится ли тождество при раскрытии скобок после вынесения общего множителя? 3. Можно ли сократить на sin x, если ищем корни уравнения и sin x может равняться нулю? Для первых двух ответ «да»; для третьего — «нет, так можно потерять решения».

12 коротких заданий

1. Вынесите общий множитель из sin²x+sin x cos x.
2. Проверьте sin 2x+2sin x=2sin x(cos x+1).
3. Ученик записал sin²x−cos²x=(cos x−sin x)(cos x+sin x). Верно?
4. Разложите sin³x−sin x на множители и упростите.
5. Проверьте 2sin²x cos x−sin x sin 2x=0.
6. Упростите sin x+sin x cos 2x.
7. Упростите cos x−cos x cos 2x.
8. Верно ли cos x(sin x+cos x)=sin x cos x+cos²x?
9. Разложите sin x cos x−cos²x.
10. Проверьте sin²x cos x+cos³x=cos x.
11. Найдите все решения sin x(cos x+1)=0; нельзя делить на sin x.
12. Выясните, верно ли sin x(sin x−1)=sin²x−sin x при всех x.

Быстрый ключ с разбором важных случаев

1. sin x(sin x+cos x). Раскрытие возвращает исходную сумму.
2. Верно: sin 2x=2sin x cos x; общий множитель 2sin x.
3. Неверно: справа cos²x−sin²x. Слева надо (sin x−cos x)(sin x+cos x).
4. sin x(sin²x−1)=−sin x cos²x.
5. Верно: sin x sin 2x=2sin²x cos x.
6. sin x(1+cos 2x)=2sin x cos²x.
7. cos x(1−cos 2x)=2cos x sin²x.
8. Да: раскрытие скобок точно даёт обе части.
9. cos x(sin x−cos x).
10. Верно: cos x(sin²x+cos²x)=cos x.
11. x=πk, k∈ℤ. Условие cos x=−1 даёт лишь нечётные кратные π — они уже входят в x=πk.
12. Да, для любого x∈ℝ. В равенстве нет знаменателей; проверка раскрытием скобок.

В заданиях 1–10 и 12 области определения — вся ℝ: там нет деления на переменное выражение. Проверить вынесение можно обратным раскрытием скобок. В задаче 11 действует правило нулевого произведения. Если вместо него разделить на sin x, будут потеряны значения, где sin x=0. Именно поэтому сначала находят нули каждого множителя.

Короткая самодиагностика: если ошиблись в 3, проверьте порядок вычитания квадратов; если в 6–7, повторите 1±cos 2x; если в 11, повторите правило нулевого произведения. При верном преобразовании не возникают новые запреты на углы, если вы только выносите множитель и не делите.

Две ловушки после правильного вынесения

Первая ловушка — ошибочно поменять местами разность sin²x−cos²x и cos²x−sin²x. В обоих случаях возможны одинаковые на вид два множителя, но в первом скобка начинается с sin x−cos x, а во втором с cos x−sin x. Достаточно подставить x=0, чтобы заметить неверный знак: sin²0−cos²0=−1.

Вторая ловушка — разделить обе части уравнения на общий множитель, который может быть нулём. Так можно сохранить часть решений и потерять другую. Если ищете равенство функций, раскрывайте скобки; если решаете уравнение, используйте правило нулевого произведения. Оба метода корректны без запрещённого деления.