Восстановление основания при сдвиге графика вверх — карточки с ответами, 10 класс

Цель практикума: восстанавливать основание показательной функции y=a^x+c после сдвига её графика вверх на c>0 единиц. Основание обязательно удовлетворяет a>0 и a≠1. Отдельно тренируем проверку по второй точке и распознавание условий, которые не задают единственный ответ.

Неверный ход, который нужно остановить

Ученик увидел точку (1; 9) графика y=a^x+5 и объявил основание равным 9. Это неверно: сначала надо убрать сдвиг. Равенство 9=a+5 даёт a=4. Проверка: при x=0 получаем 1+5=6, а при x=2 — 16+5=21. Значение функции не равно её показательной части, если c≠0.

Общее правило: если дано y(x₀)=Y и c известно, то a^x₀=Y−c. При x₀=1 сразу a=Y−c; при x₀=2 для a>0 получаем a=√(Y−c); при x₀=−1 — a=1/(Y−c). Если Y−c≤0, вещественного основания нет. При x₀=0 условие говорит только Y=c+1 и не определяет a. Вычисленное a=1 исключается определением показательной функции с основанием a≠1.

Уровень I. Сначала вычтите сдвиг

1. График y=a^x+3 проходит через P(1; 5). Восстановите a и проверьте допустимость.
2. График y=a^x+5 проходит через P(1; 8). Восстановите a и проверьте допустимость.
3. График y=a^x+2 проходит через P(1; 5/2). Восстановите a и проверьте допустимость.
4. График y=a^x+4 проходит через P(1; 8). Восстановите a и проверьте допустимость.
5. График y=a^x+6 проходит через P(1; 20/3). Восстановите a и проверьте допустимость.
6. График y=a^x+7 проходит через P(1; 19/2). Восстановите a и проверьте допустимость.
7. График y=a^x+8 проходит через P(1; 33/4). Восстановите a и проверьте допустимость.
8. График y=a^x+1 проходит через P(1; 7). Восстановите a и проверьте допустимость.

В этой группе намеренно чередуются основания больше единицы и между нулём и единицей. Неправильно делать вывод «основание обязательно больше 1» только из факта сдвига графика вверх. Сдвиг поднимает значения y, но не изменяет основание.

Уровень II. Неизвестное основание под квадратом или обратной степенью

9. Известно: y=a^x+2, y(2)=11. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
10. Известно: y=a^x+1, y(-1)=3. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
11. Известно: y=a^x+5, y(-1)=15/2. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
12. Известно: y=a^x+4, y(-1)=17/4. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
13. Известно: y=a^x+3, y(2)=28/9. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
14. Известно: y=a^x+6, y(2)=49/4. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
15. Известно: y=a^x+2, y(-2)=9/4. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.
16. Известно: y=a^x+1, y(2)=17/16. Найдите a, объяснив выбор положительного корня, и выполните подстановку.

Обратите внимание: отрицательный показатель степени не делает основание отрицательным. Например, a⁻²=4 означает (1/a)²=4. Так как a>0, имеем 1/a=2 и a=1/2. Формальная запись ±1/2 была бы недопустима в определении вещественной показательной функции.

Уровень III. Два измерения, ограничения и проверка ошибок

17. Точки (0; 4) и (-1; 7/2) принадлежат графику y=a^x+c, c>0. Восстановите c и a; убедитесь, что обе точки удовлетворяют модели.
18. Точки (0; 5) и (2; 17/4) принадлежат графику y=a^x+c, c>0. Восстановите c и a; убедитесь, что обе точки удовлетворяют модели.
19. Точки (0; 7) и (2; 15) принадлежат графику y=a^x+c, c>0. Восстановите c и a; убедитесь, что обе точки удовлетворяют модели.
20. Точки (0; 3) и (-2; 11) принадлежат графику y=a^x+c, c>0. Восстановите c и a; убедитесь, что обе точки удовлетворяют модели.
21. Точки (0; 6) и (3; 143/27) принадлежат графику y=a^x+c, c>0. Восстановите c и a; убедитесь, что обе точки удовлетворяют модели.
22. Точки (0; 3) и (-1; 9/4) принадлежат графику y=a^x+c, c>0. Восстановите c и a; убедитесь, что обе точки удовлетворяют модели.
23. Для y=a^x+3 дана единственная точка (0; 4). Сколько допустимых оснований можно восстановить?
24. Для y=a^x+5 сообщают y(2)=5. Есть ли основание a>0?
25. Для y=a^x+2 сообщают y(−1)=3. Может ли это быть показательной функцией в принятом определении?
26. Известно, что y=a^x+c, c>0, проходит через (0; 7) и (1; 9). Неправильный ответ ученика: a=9/7. Исправьте.

Развёрнутые решения и ключ

Уровень I — основание находится прямым вычитанием

• 1. a=5−3=2; основание положительно и не равно 1.
• 2. a=8−5=3; основание положительно и не равно 1.
• 3. a=5/2−2=1/2; основание положительно и не равно 1.
• 4. a=8−4=4; основание положительно и не равно 1.
• 5. a=20/3−6=2/3; основание положительно и не равно 1.
• 6. a=19/2−7=5/2; основание положительно и не равно 1.
• 7. a=33/4−8=1/4; основание положительно и не равно 1.
• 8. a=7−1=6; основание положительно и не равно 1.

Уровень II — проверяем обратную степень и квадратный корень

• 9. a²=9, a=√(9)=3. Проверка: (3)²+2=11.
• 10. a^-1=2, a=1/(2)=1/2. Проверка: (1/2)⁻¹+1=3.
• 11. a^-1=5/2, a=1/(5/2)=2/5. Проверка: (2/5)⁻¹+5=15/2.
• 12. a^-1=1/4, a=1/(1/4)=4. Проверка: (4)⁻¹+4=17/4.
• 13. a²=1/9, a=√(1/9)=1/3. Проверка: (1/3)²+3=28/9.
• 14. a²=25/4, a=√(25/4)=5/2. Проверка: (5/2)²+6=49/4.
• 15. a^-2=1/4, a=1/√(1/4)=2. Проверка: (2)⁻²+2=9/4.
• 16. a²=1/16, a=√(1/16)=1/4. Проверка: (1/4)²+1=17/16.

Уровень III — проверяем исходную модель, а не только вычисленное основание

• 17. c=y(0)−1=3; a^-1=7/2−3=1/2, откуда a=2. Обе координаты совпадают.
• 18. c=y(0)−1=4; a²=17/4−4=1/4, откуда a=1/2. Обе координаты совпадают.
• 19. c=y(0)−1=6; a²=15−6=9, откуда a=3. Обе координаты совпадают.
• 20. c=y(0)−1=2; a^-2=11−2=9, откуда a=1/3. Обе координаты совпадают.
• 21. c=y(0)−1=5; a³=143/27−5=8/27, откуда a=2/3. Обе координаты совпадают.
• 22. c=y(0)−1=2; a^-1=9/4−2=1/4, откуда a=4. Обе координаты совпадают.
• 23. Бесконечно много: при x=0 любое a>0, a≠1 даёт y=4. Требуется точка с ненулевой абсциссой.
• 24. Нет: a²=0, откуда a=0, но a>0 обязательно. Условие несовместимо с функцией.
• 25. Нет: a⁻¹=1, значит a=1, а оно исключено.
• 26. c=7−1=6; a=9−6=3. Деление y(1)/y(0) недопустимо без вычитания сдвига.

Как доказать, что найденный ответ единственный

Для a>0 функция a↦a^x при фиксированном x≠0 строго монотонна на положительных основаниях: возрастает, если x>0, и убывает, если x<0. Поэтому равенство a^x=Y−c>0 может иметь только одно положительное решение. Другой знак квадратного корня не создаёт второй допустимой показательной функции; отрицательные основания в школьном определении не рассматриваются. При x=0 монотонности по параметру a нет: все основания дают 1, и восстановление невозможно.

Чтобы проверить расчёт по двум точкам, сначала из y(0)=c+1 восстановите c. Затем используйте вторую точку с абсциссой, отличной от нуля. Не вычисляйте основание по формуле a=y(x)/y(0): она годится не для сдвинутой функции. Корректно отношение (y(x)−c)/(y(0)−c)=a^x. Разность значений одной и той же показательной части должна быть положительной, а при a=1 следует сообщить о недопустимости основания.

Самостоятельная контрольная процедура: (1) выпишите c и координаты точки; (2) найдите положительное значение Y−c; (3) раскройте степень, соблюдая знак показателя; (4) проверьте a>0, a≠1; (5) подставьте a в исходную функцию. Не округляйте дробные основания: точная запись 2/3 или 1/4 лучше десятичного приближения и позволяет проверить исходные данные без погрешности.