Восстановление основания при заданном значении функции — тренажёр для 10 класса

Два варианта тренажёра учат восстанавливать a из одного известного значения y=a^x. Для действительных x допустимое основание строго положительно и не равно 1. Если x≠0, y>0, то при положительной степени извлекаем положительный корень; при отрицательной сначала обращаем положительное значение y. Работа рассчитана на точные дроби и целые степени без калькулятора.

Вариант А. Положительные показатели

1. При y=a² известно y=4. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
2. При y=a² известно y=9. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
3. При y=a² известно y=1/4. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
4. При y=a³ известно y=1/27. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
5. При y=a² известно y=16. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
6. При y=a² известно y=9/4. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
7. При y=a³ известно y=8. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.
8. При y=a³ известно y=8/27. Найдите a и объясните, почему отрицательный корень не подходит.

После первого варианта обменяйтесь работами: другой ученик проверяет не только число, но и запись условия a>0. Например, равенство a²=9 имеет два вещественных решения как обычное уравнение, однако основание показательной функции из них только a=3, потому что a=−3 недопустимо.

Вариант Б. Отрицательные показатели, обращение данных

9. Функция y=a^x принимает значение 1/2 при x=-1. Определите a; проверьте возведением в степень.
10. Функция y=a^x принимает значение 1/9 при x=-2. Определите a; проверьте возведением в степень.
11. Функция y=a^x принимает значение 8 при x=-3. Определите a; проверьте возведением в степень.
12. Функция y=a^x принимает значение 5/2 при x=-1. Определите a; проверьте возведением в степень.
13. Функция y=a^x принимает значение 1/16 при x=-2. Определите a; проверьте возведением в степень.
14. Функция y=a^x принимает значение 4 при x=-1. Определите a; проверьте возведением в степень.
15. Функция y=a^x принимает значение 4/9 при x=-2. Определите a; проверьте возведением в степень.
16. Функция y=a^x принимает значение 27 при x=-3. Определите a; проверьте возведением в степень.

Ключ для взаимной проверки

• 1. a²=4, a=2; проверка: (2)²=4.
• 2. a²=9, a=3; проверка: (3)²=9.
• 3. a²=1/4, a=1/2; проверка: (1/2)²=1/4.
• 4. a³=1/27, a=1/3; проверка: (1/3)³=1/27.
• 5. a²=16, a=4; проверка: (4)²=16.
• 6. a²=9/4, a=3/2; проверка: (3/2)²=9/4.
• 7. a³=8, a=2; проверка: (2)³=8.
• 8. a³=8/27, a=2/3; проверка: (2/3)³=8/27.

• 9. a^-1=1/2, значит a¹=2; положительное a=2. Подстановка: (2)⁻¹=1/2.
• 10. a^-2=1/9, значит a²=9; положительное a=3. Подстановка: (3)⁻²=1/9.
• 11. a^-3=8, значит a³=1/8; положительное a=1/2. Подстановка: (1/2)⁻³=8.
• 12. a^-1=5/2, значит a¹=2/5; положительное a=2/5. Подстановка: (2/5)⁻¹=5/2.
• 13. a^-2=1/16, значит a²=16; положительное a=4. Подстановка: (4)⁻²=1/16.
• 14. a^-1=4, значит a¹=1/4; положительное a=1/4. Подстановка: (1/4)⁻¹=4.
• 15. a^-2=4/9, значит a²=9/4; положительное a=3/2. Подстановка: (3/2)⁻²=4/9.
• 16. a^-3=27, значит a³=1/27; положительное a=1/3. Подстановка: (1/3)⁻³=27.

Три вопроса, на которых часто теряют баллы

Почему отрицательное основание не выбирают даже при квадратной степени? Потому что школьная показательная функция a^x определена для любого действительного x при a>0. Отрицательная база не сохраняет действительные значения для всех показателей: например, выражение (−2)^1/2 не является действительным числом. Поэтому знак «±» в ответе здесь неуместен.

Что делать, если дано y(0)=1? Никаких данных об a оно не добавляет: a⁰=1 для всякого положительного a. Если y(0)≠1, исходные сведения несовместимы с чистой функцией y=a^x. Эту пограничную ситуацию не следует выдавать за задание с единственным ответом.

Как отличить число 1 в ответе от невозможного восстановления? Например, a²=1 даёт единственное положительное число a=1, но оно исключено условием a≠1. Поэтому допустимых показательных оснований нет. Не путайте математическое извлечение корня и проверку области определения параметра.

При взаимной проверке стоит сопоставить задания 3 и 11: основание 1/2 в обоих случаях одинаково, но показатели 2 и −3 дают значения соответственно 1/4 и 8. Положительный показатель уменьшает дробное основание, отрицательный делает обратную величину больше единицы. Для контроля сравните задания 2 и 10: одинаковое основание 3 с показателями 2 и −2 даёт соответственно 9 и 1/9. Это помогает заметить ошибку в обращении степени быстрее, чем повторное извлечение корня.