Восстановление основания по двум точкам кривой — упражнения разной сложности, 10 класс

Сомнительное утверждение: «По двум точкам любой показательной кривой всегда можно найти основание». Оно неверно без ограничений на модель и на точки. В этой работе задана конкретная модель y=K·a^x, где K>0, a>0 и a≠1. Неизвестны сразу K и a. Две точки с различными абсциссами позволяют избавиться от множителя K делением. Условие о вертикальном сдвиге здесь не используется: это отдельная задача.

Почему отношение двух ординат определяет основание

Пусть известны (x₁; y₁) и (x₂; y₂), x₁≠x₂. По модели y₁=K·a^x₁ и y₂=K·a^x₂. Так как K>0 и a>0, обе ординаты положительны. Делим равенства: y₂/y₁=a^x₂−x₁. Из положительного отношения находим единственное положительное a, после чего K=y₁/a^x₁. При разности абсцисс 1 деление сразу даёт a, а при разности 2 извлекается положительный квадратный корень.

Например, точки (1; 6) и (3; 24) принадлежат y=K·a^x. Получаем a²=24/6=4, откуда a=2. Тогда K=6/2=3. Проверка: 3·2=6 и 3·2³=24. Это не способ для произвольной функции с добавленным c: при y=K·a^x+c сначала пришлось бы учитывать c, иначе деление ординат ошибочно.

Доказательные упражнения: восстановите оба параметра

1. Даны P(0; 3) и Q(1; 6), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
2. Даны P(1; 6) и Q(2; 18), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
3. Даны P(0; 8) и Q(2; 2), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
4. Даны P(-1; 1/4) и Q(1; 4), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
5. Даны P(0; 4) и Q(2; 9), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
6. Даны P(-1; 27/2) и Q(2; 4), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
7. Даны P(1; 10) и Q(3; 250), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
8. Даны P(-1; 81) и Q(1; 9), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
9. Даны P(2; 20) и Q(3; 40), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
10. Даны P(-2; 256) и Q(-1; 64), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
11. Даны P(0; 1/2) и Q(2; 9/2), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.
12. Даны P(-1; 81/16) и Q(1; 9), лежащие на y=K·a^x. Восстановите a и K; обоснуйте единственность и проверьте обе точки.

Полные решения для проверки

• 1. y₂/y₁=6/3=2=a¹, поэтому a=2; K=3/1=3. Проверка: K·a⁰=3, K·a¹=6.
• 2. y₂/y₁=18/6=3=a¹, поэтому a=3; K=6/3=2. Проверка: K·a¹=6, K·a²=18.
• 3. y₂/y₁=2/8=1/4=a², поэтому a=1/2; K=8/1=8. Проверка: K·a⁰=8, K·a²=2.
• 4. y₂/y₁=4/1/4=16=a², поэтому a=4; K=1/4/1/4=1. Проверка: K·a^-1=1/4, K·a¹=4.
• 5. y₂/y₁=9/4=9/4=a², поэтому a=3/2; K=4/1=4. Проверка: K·a⁰=4, K·a²=9.
• 6. y₂/y₁=4/27/2=8/27=a³, поэтому a=2/3; K=27/2/3/2=9. Проверка: K·a^-1=27/2, K·a²=4.
• 7. y₂/y₁=250/10=25=a², поэтому a=5; K=10/5=2. Проверка: K·a¹=10, K·a³=250.
• 8. y₂/y₁=9/81=1/9=a², поэтому a=1/3; K=81/3=27. Проверка: K·a^-1=81, K·a¹=9.
• 9. y₂/y₁=40/20=2=a¹, поэтому a=2; K=20/4=5. Проверка: K·a²=20, K·a³=40.
• 10. y₂/y₁=64/256=1/4=a¹, поэтому a=1/4; K=256/16=16. Проверка: K·a^-2=256, K·a^-1=64.
• 11. y₂/y₁=9/2/1/2=9=a², поэтому a=3; K=1/2/1=1/2. Проверка: K·a⁰=1/2, K·a²=9/2.
• 12. y₂/y₁=9/81/16=16/9=a², поэтому a=4/3; K=81/16/3/4=27/4. Проверка: K·a^-1=81/16, K·a¹=9.

Особые случаи: почему нельзя механически применять формулу

Если у двух заданных точек одинаковые абсциссы, но разные ординаты, они не могут лежать на графике функции. Если совпадают и абсциссы, и ординаты, это фактически одна точка: двух независимых уравнений нет, поэтому K и a определить однозначно невозможно. Эти случаи надо проверить до деления y₂/y₁.

Если хотя бы одна ордината неположительна, модель с K>0, a>0 невозможна. Если при x₁≠x₂ выполняется y₁=y₂>0, отношение равно единице; из a^x₂−x₁=1 следует a=1, а оно исключено. Поэтому никакая не постоянная показательная функция данного вида не проходит через такие две точки.

Контрпример неправильному делению

Пусть две точки (0; 5) и (1; 8) принадлежат сдвинутой кривой y=3^x+4. Отношение ординат 8/5 не равно основанию 3. Если кто-то применил формулу для K·a^x к этой функции, получит ошибочную модель. Именно поэтому в условии каждого задания выше явно записан множитель K и отсутствует сдвиг c. Короткая математическая запись модели важнее внешнего вида кривой.

Не забывайте, что K и a решают разные задачи: K отвечает за значение y при x=0, поскольку y(0)=K; основание a отвечает за постоянное отношение соседних значений по x. Например, для функции y=3·2^x два соседних значения 6 и 12 дают a=2, но K=3. Если ответить a=6, перепутаются начальный масштаб и темп изменения.

Для проверки восстановленного основания полезно использовать обе исходные точки, а не только отношение. Сначала найдите a из y₂/y₁, затем K из первой точки и убедитесь, что K·a^x₂ действительно даёт y₂. Это также выявляет ошибку, когда перепутаны местами x₁ и x₂ в показателе степени: вместо a может появиться 1/a, а проверка второй точкой сразу обнаружит расхождение.