Определение ошибки преобразования для логарифма степени — тематические карточки для 10 класса

Измерения усиления: когда логарифм степени переписывают неверно

В исследовательской мастерской отслеживают изменение условного коэффициента сигнала. В таблице приведены значения по этапам. Если коэффициент x положителен, то log₂(xⁿ) = n log₂x. Но при отрицательном x квадрат и четвёртая степень остаются положительными, а log₂x как вещественное число не существует. Тогда для чётного n допустима запись log₂(xⁿ) = n log₂|x| при x ≠ 0.

Для второй серии эксперимента датчик выдаёт знаковое отклонение s, которое может быть отрицательным. Измеряемая энергия условно пропорциональна s². Это не делает log₂(s) допустимым при s < 0; зато log₂(s²) определён для s ≠ 0. В заданиях важно не смешивать положительный коэффициент роста с отклонением, обладающим знаком.

Связанные карточки: данные → формула → проверка

1. По таблице найдите log₂(G/3) на третьем этапе. Ученик назвал 8, перепутав аргумент и логарифм.
2. Найдите log₂((G/3)²) на втором этапе и объясните коэффициент перед логарифмом.
3. Ученик пишет log₂(8³) = (log₂8)³ = 27. Исправьте.
4. Для s = −4 вычислите log₂(s²) и оцените запись 2log₂s.
5. Если s = −2, найдите log₂(s⁴). Почему нельзя сначала вычислить log₂s?
6. Если s = 0, корректна ли формула log₂(s²) = 2log₂|s|?

Развилка: верно или ошибка в записи экспериментатора?

7. Объясните, почему log₂(3 · 2⁴) не равно 4log₂3. Выпишите правильную формулу.
8. Пусть положительный коэффициент H = (G/3)³ на первом этапе. Найдите log₂H.
9. Сотрудник записал log₃(9²) = (log₃9)². Проверьте оба значения.
10. При s = −8 сравните log₂(s²) и 2log₂|s|.
11. Ученик предлагает log₂(s³) = 3log₂|s| для s = −2. Укажите ошибку ОДЗ.
12. Для G/3 = 16 найдите log₂((G/3)^1/2) и скажите, почему правило применимо.

Разбор данных и типичных ошибок в лабораторной таблице

Таблица описывает дискретные этапы удвоения: каждое следующее значение G больше предыдущего вдвое. Если начальное G равно 3, то на этапе n имеем G = 3 · 2ⁿ, где n принимает значения от 0 до 4. Отсюда G/3 = 2ⁿ, значит log₂(G/3) = n. Формула позволяет без подсчёта больших чисел восстановить номер этапа по отношению к старту. Например, для G = 48 отношение равно 16, а его логарифм по основанию 2 равен 4: это четвёртый этап, а не шестнадцатый.

В опыте с отклонением s результат измерения может быть записан со знаком минус: это указывает направление отклонения. Энергия, пропорциональная s², от смены знака не меняется. При s = 4 и s = −4 квадрат одинаков — 16. Поэтому log₂(s²) = 4 в обоих случаях; формула 2log₂s годится только при s > 0. В случае s < 0 применяется модуль: log₂(s²) = 2log₂|s|, а при s = 0 логарифм не определён вовсе.

Отличайте две операции: «возвести аргумент логарифма в степень» и «возвести значение логарифма в степень». Для положительного x первое даёт log₂(x³) = 3log₂x. Второе обозначается (log₂x)³ и обычно имеет другое значение. При x = 4 первое равно 6, а второе равно 8. Чтобы увидеть разницу, вычислите сначала исходный логарифм по определению, затем отдельно каждую из двух операций. Совпадения вроде log₃81 = (log₃9)² = 4 нельзя считать доказательством общего правила.

Самостоятельное обсуждение

Объясните партнёру, почему график логарифма не содержит точек с неположительным аргументом. Затем сравните s = −2, s = 0 и s = 2 для выражения log₂(s²). В двух случаях получается 2, а при нуле ответа нет. Наконец, восстановите по этапам рост в четыре раза: log₂4 = 2 показывает, что для роста от 3 до 12 понадобились ровно два удвоения. Эти три наблюдения помогают проверять записи формул без слепого запоминания.

Полезный дополнительный контроль для второй серии измерений: при s = −8, s² = 64, поэтому log₂(s²) = 6. Если при раскрытии степени записать 2log₂(−8), выражение не имеет вещественного значения, хотя исходный логарифм существует. Проверка с модулем устраняет этот разрыв: 2log₂|−8| = 2 · 3 = 6. В подобных примерах сначала определяйте допустимость всего аргумента, а уже потом используйте формулу степени.

Проверка модели и ключ

1. 3. На третьем этапе G/3 = 8 и log₂8 = 3.
2. 4: G/3 = 4, log₂(4²) = log₂16 = 4 = 2 · 2.
3. 9: log₂(8³) = 3log₂8 = 3 · 3 = 9.
4. 4: s² = 16. Запись 2log₂(−4) не определена в вещественных числах; нужно 2log₂|s|.
5. 4: s⁴ = 16, log₂16 = 4. log₂(−2) не определён.
6. Нет: обе стороны не определены, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным.
7. log₂(3 · 2⁴) = log₂3 + 4; степень относится к двойке, а не ко всему произведению.
8. 3: при первом этапе G/3 = 2, H = 8.
9. Верный результат 4: log₃81 = 4. Совпадение с 2² = 4 здесь случайное; правило неверно в общем случае.
10. Оба равны 6: s² = 64, log₂64 = 6; 2log₂8 = 6.
11. Левая сторона log₂(−8) не существует; правая сторона равна 3, поэтому равенство неверно.
12. 2: квадратный корень из 16 равен 4, log₂4 = 2. Аргумент исходной степени положителен.

Проверка разумности: логарифм коэффициента роста удваивается при возведении положительного коэффициента в квадрат, но не превращается в квадрат числа log₂G. Для отрицательного сигнала допустимость определяется аргументом всего логарифма, а не привычной формальной записью без модулей.

Учителю: попросите объяснить на примере s = −4, почему правую часть нельзя записать без модуля. В заданиях 6 и 11 ошибка касается области определения, даже если ученик правильно выполняет арифметику. По таблице полезно проверить монотонность: при удвоении коэффициента отношение G/3 увеличивает свой двоичный логарифм на единицу.