Восстановление координаты точки при нулевой одной координате: самостоятельная работа, 10 класс

Можно ли восстановить точку, зная, что одна координата равна нулю?

Подозрительное утверждение: «Если у P одна координата равна 0, положение P определено». Нет: точка с x = 0 может находиться в любом месте плоскости Oyz. Для однозначности нужны дополнительные условия — середина отрезка, заданный вектор, расстояние и знак либо принадлежность прямой.

x = 0 означает плоскость Oyz; y = 0 — плоскость Oxz; z = 0 — плоскость Oxy. Это не то же самое, что координатная ось: на оси Ox одновременно y = 0 и z = 0. Для точки P = (x; y; z) и A = (a; b; c) вектор AP равен (x − a; y − b; z − c). Середина отрезка AB получается усреднением координат. Расстояние до A вычисляется по квадратам разностей; квадратное уравнение обычно имеет два знака, поэтому дополнительный выбор может быть необходим.

Доказательные задачи: найдите точку или объясните, почему её нельзя найти однозначно

1. P = (0; y; 5), Q = (0; 2; 5). PQ = 4, y > 2. Найдите P.
2. P = (x; 0; −2), Q = (5; 0; −2). PQ = 3, x < 5. Найдите x.
3. P = (0; y; z) — середина A = (−2; 3; 4) и B = (2; 7; 0). Найдите P.
4. A = (3; 1; 2), AP = (−3; 5; 4). Восстановите P с нулевой первой координатой.
5. A = (−2; 2; 1), AP = (5; −2; −3). Найдите P.
6. P = (2; y; 0), Q = (2; −1; 0). PQ = 5, y > −1. Определите y.

Особые случаи: два ответа или бесконечно много

7. P = (0; y; 2), Q = (0; −4; 2). PQ = 3, y < −4. Найдите P.
8. P — середина A = (−4; 6; −2) и B = (4; 0; 8). Найдите P и проверьте нулевую координату.
9. P — середина A = (8; −3; 5) и B = (−2; 3; −1). Найдите P.
10. P = (0; y; −3). Известно OP = √34 и y < 0. Найдите P.
11. P = (4; 0; z). OP = 5, z > 0. Найдите P.
12. P = (0; y; −3), OP = √34. Условие о знаке y отсутствует. Сколько решений?
13. P = (x; 0; z) — середина A = (−2; 5; 7) и B = (8; −5; −1). Найдите P.
14. P = (0; y; 4). Известно лишь x = 0 и z = 4. Определена ли точка?

Три разобранные модели для восстановления координат

Модель 1. Условие о знаке убирает лишний ответ

Пусть P = (0; y; 5), Q = (0; 2; 5). Из пространственной формулы расстояния получаем PQ² = (0 − 0)² + (y − 2)² + (5 − 5)² = (y − 2)². Если расстояние равно 4, то (y − 2)² = 16 и y − 2 = ±4. Отсюда формально два кандидата y = 6 и y = −2. Но по условию y > 2, поэтому остаётся только y = 6. Подстановка в формулу даёт |6 − 2| = 4. Без условия о знаке правильным ответом были бы две разные точки, а не одна.

Модель 2. У середины координаты восстанавливаются независимо

Для A = (−4; 6; −2), B = (4; 0; 8) обозначим середину M. Тогда M_x = (−4 + 4)/2 = 0, M_y = (6 + 0)/2 = 3, M_z = (−2 + 8)/2 = 3. Следовательно, M = (0; 3; 3). Нельзя заменять три усреднения одним: координаты — самостоятельные составляющие пространственного положения. Для обратного контроля AM = (4; −3; 5), MB = (4; −3; 5), то есть векторы равны, как и требуется середине.

Модель 3. Точка на плоскости — не обязательно точка на оси

Условие x = 0 задаёт бесконечную плоскость Oyz. Но если одновременно z = 4, получаем уже прямую в этой плоскости, состоящую из точек (0; y; 4) при любом действительном y. Из условия «одна координата равна нулю» нельзя сделать вывод о двух остальных. Ещё более строго: точка принадлежит оси Oy только если x = 0 и z = 0 одновременно. Поэтому в последнем пункте ответ нельзя представить произвольной одной тройкой координат.

При решении каждой карточки полезно отдельно выписать, сколько условий накладывается на неизвестные. Заданные нули фиксируют одну или несколько координат, заданные середины обычно определяют все три, а расстояние часто приводит к квадратному уравнению и необходимости выбрать знак. Если исходных условий мало, ваша задача — не «угадать» координаты, а объяснить, какое дополнительное условие требуется.

Проверка сложных пунктов на равенство расстояний

В пункте о расстоянии OP = √34 для P = (0; y; −3) равенство даёт y² + 9 = 34, поэтому y = ±5. Если задано y < 0, получится (0; −5; −3). Если знак не указан, обе точки равноудалены от начала координат: у каждой 0² + 5² + (−3)² = 34. Считать только положительный корень из y² = 25 — ошибка, потому что корень квадратный √25 равен 5, но решение самого уравнения имеет два знака.

Для проверки работы с нулевыми координатами рассмотрите также задачу об ошибке вектора. Ученик получил из A = (−2; 2; 1) и AP = (5; −2; −3) точку P = (3; −4; −2), потому что вычел вторую координату вектора вместо сложения. Но вектор AP определяется как P − A, поэтому восстановление P происходит сложением A + AP: (−2 + 5; 2 + (−2); 1 + (−3)) = (3; 0; −2). Проверка обратным действием: P − A = (5; −2; −3), и нулевая координата действительно получена, а не просто записана в ответ.

В задачах с центром отрезка удобно использовать равенство B = 2M − A, но нельзя применять его при задании расстояния: середина и длина задают принципиально разные ограничения. Если OP = 5 при P = (4; 0; z), то z² = 9. Значение z = 3 выбирается только потому, что сказано z > 0; без этого требования точек было бы две. На контрольной работе отдельно оценивайте объяснение того, почему второй кандидат исключён: одного конечного числа недостаточно для подтверждения корректного решения.

Обоснованный ключ

1. P = (0; 6; 5). Получаем |y − 2| = 4; условие y > 2 выбирает y = 6.
2. x = 2: |x − 5| = 3 и x < 5. Альтернативное x = 8 исключено.
3. P = (0; 5; 2). Все координаты усреднены; первая равна 0.
4. P = (0; 6; 6): сложите координаты A и AP.
5. P = (3; 0; −2). Проверка: y = 2 − 2 = 0.
6. y = 4: |y + 1| = 5, отрицательная ветвь y = −6 запрещена.
7. P = (0; −7; 2). Разность вторых координат по модулю равна 3.
8. P = (0; 3; 3). Первая координата (−4 + 4)/2 = 0.
9. P = (3; 0; 2). Нулевой оказывается именно вторая координата.
10. P = (0; −5; −3): y² + 9 = 34, y² = 25, знак задаёт условие.
11. P = (4; 0; 3): 16 + z² = 25, z = 3.
12. Два: (0; 5; −3) и (0; −5; −3). Единственного ответа нет.
13. P = (3; 0; 3). Проверьте, что нулевой является y.
14. Нет. y может быть любым действительным числом: множество точек — прямая в плоскости Oyz.

Проверка утверждения: если расстояние даёт уравнение (y − a)² = d², то формально y = a ± d. Нулевой координаты недостаточно, чтобы выбрать знак. Это видно в № 12; в № 14 условие вообще не фиксирует y. Для заданий с серединой дополнительная информация позволяет получить единственный ответ без извлечения корня.

Критерий для самостоятельного решения: запишите, какое именно условие превратило бесконечное множество точек плоскости в одну или две точки. Если его нет, ответ «не определяется однозначно» математически точнее выдуманной координаты. Такое рассуждение необходимо и в пространственной геометрии, и при обработке координат измерений.