Восстановление координаты точки по условию скалярного произведения — задачи с решениями для 10 класса

Учебный маршрут: одна неизвестная координата и скалярное произведение

Для точек A = (a; b; c), P = (x; y; z) и вектора v = (u; v; w) условие AP · v = d означает u(x − a) + v(y − b) + w(z − c) = d. Если две координаты P известны, третью обычно можно найти из линейного уравнения. Но лишь при ненулевом коэффициенте именно при этой неизвестной! Если коэффициент равен нулю, условие либо противоречиво, либо никак не определяет координату.

Первый шаг: восстановите пропуск

1. A = (1; 2; 3), v = (2; −1; 3), P = (x; 4; 2), AP · v = 7. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
2. A = (−2; 1; 0), v = (3; 2; −1), P = (1; y; 2), AP · v = 11. Восстановите y или докажите, что условие не определяет его однозначно.
3. A = (0; −3; 4), v = (−2; 1; 5), P = (2; −1; z), AP · v = 9. Восстановите z или докажите, что условие не определяет его однозначно.
4. A = (3; 0; −1), v = (4; −2; 1), P = (x; −2; 3), AP · v = 4. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
5. A = (1; −4; 2), v = (−1; 3; 2), P = (−2; y; 5), AP · v = 11. Восстановите y или докажите, что условие не определяет его однозначно.
6. A = (−3; 2; 1), v = (2; 5; −2), P = (−1; 3; z), AP · v = 15. Восстановите z или докажите, что условие не определяет его однозначно.

Развилка «ошибка или верно»: найдите неединственность

Перед тем как делить на коэффициент при пропущенной координате, проверьте, что он не нуль. В задачах 16 и 17 две одинаковые точки и один и тот же вектор дают разные правые части; одна запись требует бесконечно много ответов, другая противоречит условиям.

7. A = (5; −1; 0), v = (3; 2; 1), P = (x; 4; 1), AP · v = 17. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
8. A = (0; 1; −2), v = (2; −4; 3), P = (−1; y; 2), AP · v = 4. Восстановите y или докажите, что условие не определяет его однозначно.
9. A = (2; 2; 2), v = (1; 3; −2), P = (6; 0; z), AP · v = 2. Восстановите z или докажите, что условие не определяет его однозначно.
10. A = (4; −2; 1), v = (−3; 1; 4), P = (x; 1; 0), AP · v = −4. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
11. A = (−1; 0; 5), v = (5; 2; −1), P = (1; y; 2), AP · v = 11. Восстановите y или докажите, что условие не определяет его однозначно.
12. A = (3; 4; −2), v = (2; −1; 6), P = (5; 0; z), AP · v = 22. Восстановите z или докажите, что условие не определяет его однозначно.

Сложнее: отрицательные координаты, перпендикулярность и нулевой коэффициент

13. A = (0; 2; 1), v = (−2; 3; 1), P = (x; −1; 3), AP · v = 0. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
14. A = (2; −2; 4), v = (3; 1; −2), P = (6; y; 1), AP · v = 17. Восстановите y или докажите, что условие не определяет его однозначно.
15. A = (−4; 0; 2), v = (1; −2; 5), P = (2; −1; z), AP · v = 13. Восстановите z или докажите, что условие не определяет его однозначно.
16. A = (1; 2; 3), v = (0; 4; −2), P = (x; 5; 7), AP · v = 4. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
17. A = (1; 2; 3), v = (0; 4; −2), P = (x; 5; 7), AP · v = 5. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.
18. A = (1; −1; 2), v = (2; 3; 0), P = (x; 1; 6), AP · v = 0. Восстановите x или докажите, что условие не определяет его однозначно.

Ключ решений с обратной подстановкой

1. x = 7. Из условия: 2(x − 1) + (−5) = 7; подстановка даёт скалярное произведение 7.
2. y = 3. Из условия: 2(y − 1) + (7) = 11; подстановка даёт скалярное произведение 11.
3. z = 31/5. Из условия: 5(z − 4) + (−2) = 9; подстановка даёт скалярное произведение 9.
4. x = 2. Из условия: 4(x − 3) + (8) = 4; подстановка даёт скалярное произведение 4.
5. y = −10/3. Из условия: 3(y − −4) + (9) = 11; подстановка даёт скалярное произведение 11.
6. z = −2. Из условия: −2(z − 1) + (9) = 15; подстановка даёт скалярное произведение 15.
7. x = 7. Из условия: 3(x − 5) + (11) = 17; подстановка даёт скалярное произведение 17.
8. y = 5/2. Из условия: −4(y − 1) + (10) = 4; подстановка даёт скалярное произведение 4.
9. z = 0. Из условия: −2(z − 2) + (−2) = 2; подстановка даёт скалярное произведение 2.
10. x = 5. Из условия: −3(x − 4) + (−1) = −4; подстановка даёт скалярное произведение −4.
11. y = −1. Из условия: 2(y − 0) + (13) = 11; подстановка даёт скалярное произведение 11.
12. z = 1/3. Из условия: 6(z − −2) + (8) = 22; подстановка даёт скалярное произведение 22.
13. x = −7/2. Из условия: −2(x − 0) + (−7) = 0; подстановка даёт скалярное произведение 0.
14. y = −3. Из условия: 1(y − −2) + (18) = 17; подстановка даёт скалярное произведение 17.
15. z = 3. Из условия: 5(z − 2) + (8) = 13; подстановка даёт скалярное произведение 13.
16. x может быть любым действительным числом: его коэффициент равен нулю, а оставшиеся слагаемые дают 4 = 4.
17. Решений нет: коэффициент при x равен нулю, а левая часть для всех x равна 4, не 5.
18. x = −2. Из условия: 2(x − 1) + (6) = 0; подстановка даёт скалярное произведение 0.

Как оценить: в каждом пункте 1 балл за верную линейную модель, 1 за корректную координату или вывод о невозможности, 1 за обратную проверку. Если получено дробное значение, его нельзя округлять: оно точно удовлетворяет равенству. В задачах с нулём при неизвестной делить на 0 запрещено; важно сначала установить, является ли оставшееся равенство истинным.